Conjunto de cuatro series hipergeométricas.
En matemáticas, las series de Appell son un conjunto de cuatro series hipergeométricas F 1 , F 2 , F 3 , F 4 de dos variables que fueron introducidas por Paul Appell (1880) y que generalizan la serie hipergeométrica 2 F 1 de Gauss de una variable. Appell estableció el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de las cuales estas funciones son soluciones y encontró varias fórmulas de reducción y expresiones de estas series en términos de series hipergeométricas de una variable.
Definiciones
La serie Appell F 1 está definida para | x | < 1, | y | < 1 por la serie doble
¿Dónde está el símbolo de Pochhammer ? Para otros valores de xey la función F 1 se puede definir mediante continuación analítica . Se puede demostrar [1] que
De manera similar, la función F 2 se define para | x | + | y | < 1 por la serie
y se puede demostrar [2] que
También la función F 3 para | x | < 1, | y | < 1 puede ser definido por la serie
y la función F 4 para | x | 1 ⁄ 2 + | y | 1 ⁄ 2 < 1 por la serie
Relaciones de recurrencia
Al igual que la serie hipergeométrica de Gauss 2 F 1 , la serie doble de Appell implica relaciones de recurrencia entre funciones contiguas. Por ejemplo, un conjunto básico de tales relaciones para F 1 de Appell viene dado por:
De estas cuatro se puede derivar cualquier otra relación [3] válida para F 1 .
De manera similar, todas las relaciones de recurrencia para F 3 de Appell se derivan de este conjunto de cinco:
Derivadas y ecuaciones diferenciales
Para la F 1 de Appell , las siguientes derivadas resultan de la definición por una serie doble:
A partir de su definición, se encuentra además que la F 1 de Appell satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden :
Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para F 2 es
El sistema tiene solución.
De manera similar, para F 3 las siguientes derivadas resultan de la definición:
Y para F 3 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para F 4 es
El sistema tiene solución.
Representaciones integrales
Las cuatro funciones definidas por la serie doble de Appell se pueden representar en términos de integrales dobles que involucran únicamente funciones elementales (Gradshteyn et al. 2015, §9.184). Sin embargo, Émile Picard (1881) descubrió que la F 1 de Appell también se puede escribir como una integral unidimensional de tipo Euler :
Esta representación se puede verificar mediante la expansión de Taylor del integrando, seguida de la integración por términos.
Casos especiales
La representación integral de Picard implica que las integrales elípticas incompletas F y E , así como la integral elíptica completa Π, son casos especiales de la F 1 de Appell :
Serie relacionada
Referencias
- ^ Véase Burchnall y Chaundy (1940), fórmula (30).
- ^ Véase Burchnall & Chaundy (1940), fórmula (26) o Erdélyi (1953), fórmula 5.12(9).
- ^ Por ejemplo,
- Appell, Paul (1880). "Sur les séries hypergéométriques de deux variables et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés). 90 : 296–298 y 731–735. JFM 12.0296.01.(ver también "Sur la série F 3 (α,α',β,β',γ; x,y)" en CR Acad. Sci. 90 , págs. 977–980)
- Appell, Paul (1882). "Sobre las funciones hipergéométricas de dos variables". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . (3ème série) (en francés). 8 : 173–216. Archivado desde el original el 12 de abril de 2013.
- Apelar, Paul; Campé de Fériet, Joseph (1926). Funciones hipergéométriques e hiperesféricas; Polynômes d'Hermite (en francés). París: Gauthier-Villars. JFM 52.0361.13.(ver página 14)
- Askey, RA; Olde Daalhuis, AB (2010), "Serie Appell", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor 2723248.
- Burchnall, JL; Chaundy, TW (1940). "Ampliaciones de las funciones hipergeométricas dobles de Appell". QJ Matemáticas . Primera Serie. 11 : 249–270. doi :10.1093/qmath/os-11.1.249.
- Erdélyi, A. (1953). Funciones trascendentales superiores, vol. Yo (PDF) . Nueva York: McGraw-Hill.(ver pág. 224)
- Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "9.18". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
- Humbert, Pierre (1920). "Sobre las funciones hipercilíndricas". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés). 171 : 490–492. JFM 47.0348.01.
- Lauricella, Giuseppe (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili". Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano). 7 : 111-158. doi :10.1007/BF03012437. JFM 25.0756.01. S2CID 122316343.
- Picard, Émile (1881). "Sobre una extensión aux funciones de dos variables del problema de Riemann relativa a funciones hipergéométriques". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 2 (en francés). 10 : 305–322. doi : 10.24033/asens.203 . JFM 13.0389.01.(ver también CR Acad. Sci. 90 (1880), págs. 1119–1121 y 1267–1269)
- Pizarrero, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. SEÑOR 0201688.(hay un libro de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 )
enlaces externos