Expansión asintótica

Serie de funciones en matemáticas

En matemáticas , una expansión asintótica , serie asintótica o expansión de Poincaré (en honor a Henri Poincaré ) es una serie formal de funciones que tiene la propiedad de que truncando la serie después de un número finito de términos se obtiene una aproximación a una función dada, ya que el argumento de la función tiende hacia un punto particular, a menudo infinito. Las investigaciones de Dingle (1973) revelaron que la parte divergente de una expansión asintótica tiene un significado latente, es decir, contiene información sobre el valor exacto de la función expandida.

La teoría de series asintóticas fue creada por Poincaré (e independientemente por Stieltjes ) en 1886. ^[1]

El tipo más común de expansión asintótica es una serie de potencias, ya sea en potencias positivas o negativas. Los métodos para generar dichas expansiones incluyen la fórmula de suma de Euler-Maclaurin y transformadas integrales como las transformadas de Laplace y Mellin . La integración repetida por partes a menudo conducirá a una expansión asintótica.

Dado que una serie de Taylor convergente también se ajusta a la definición de expansión asintótica, la frase "serie asintótica" generalmente implica una serie no convergente . A pesar de la no convergencia, la expansión asintótica es útil cuando se trunca a un número finito de términos. La aproximación puede proporcionar beneficios al ser más manejable matemáticamente que la función que se está expandiendo, o por un aumento en la velocidad de cálculo de la función expandida. Por lo general, la mejor aproximación se da cuando la serie se trunca en el término más pequeño. Esta forma de truncar óptimamente una expansión asintótica se conoce como superasintótica . ^[2] El error es entonces típicamente de la forma ~ exp(− c /ε) donde ε es el parámetro de expansión. El error está, por lo tanto, más allá de todos los órdenes en el parámetro de expansión. Es posible mejorar el error superasintótico, por ejemplo, empleando métodos de sumatoria como la sumatoria de Borel a la cola divergente. Estos métodos a menudo se denominan aproximaciones hiperasintóticas .

Consulte el análisis asintótico y la notación O grande para la notación utilizada en este artículo.

Definición formal

Primero definimos una escala asintótica y luego damos la definición formal de una expansión asintótica.

Si es una secuencia de funciones continuas en algún dominio, y si es un punto límite del dominio, entonces la secuencia constituye una escala asintótica si para cada n , ${\displaystyle \ \varphi _{n}\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .}$

( puede tomarse como infinito.) En otras palabras, una secuencia de funciones es una escala asintótica si cada función en la secuencia crece estrictamente más lento (en el límite ) que la función precedente. ${\displaystyle \ L\ }$ ${\displaystyle \ x\to L\ }$

Si es una función continua en el dominio de la escala asintótica, entonces f tiene una expansión asintótica de orden con respecto a la escala como una serie formal ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ N\ }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}$

si

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)}$

o la condición más débil

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\ }$

se cumple. Aquí, está la notación o minúscula . Si una u otra se cumple para todos los , entonces escribimos ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \ N\ }$

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .}$

A diferencia de una serie convergente para , donde la serie converge para cualquier fijo en el límite , se puede pensar en la serie asintótica como convergiendo para fijo en el límite (con posiblemente infinito). ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ x\to L\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

Ejemplos

Gráficos del valor absoluto del error fraccionario en la expansión asintótica de la función Gamma (izquierda). El eje horizontal es el número de términos en la expansión asintótica. Los puntos azules son para x  = 2 y los puntos rojos para x  = 3. Se puede ver que el menor error se encuentra cuando hay 14 términos para x  = 2 y 20 términos para x  = 3 , más allá de los cuales el error diverge.

• Función gamma ( aproximación de Stirling ) $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• Integral exponencial $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• Integral logarítmica $${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$$
• Función zeta de Riemann donde son números de Bernoulli y es un factorial ascendente . Esta expansión es válida para todos los complejos y se utiliza a menudo para calcular la función zeta utilizando un valor suficientemente grande de N , por ejemplo . $${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$$ ${\displaystyle B_{2m}}$ ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$ ${\displaystyle N>|s|}$
• Función de error donde (2 n  − 1)!! es el factorial doble . $${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

Ejemplo resuelto

Las expansiones asintóticas ocurren a menudo cuando se utiliza una serie ordinaria en una expresión formal que obliga a tomar valores fuera de su dominio de convergencia . Así, por ejemplo, se puede empezar con la serie ordinaria

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}$

La expresión de la izquierda es válida en todo el plano complejo , mientras que el lado derecho converge solo para . Multiplicando por e integrando ambos lados se obtiene ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}$

después de la sustitución en el lado derecho. La integral en el lado izquierdo, entendida como un valor principal de Cauchy , se puede expresar en términos de la integral exponencial . La integral en el lado derecho se puede reconocer como la función gamma . Evaluando ambas, se obtiene el desarrollo asintótico ${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}$

Aquí, el lado derecho claramente no es convergente para ningún valor distinto de cero de t . Sin embargo, al truncar la serie de la derecha a un número finito de términos, se puede obtener una aproximación bastante buena al valor de para un valor de t suficientemente pequeño . Sustituyendo y observando que se obtiene la expansión asintótica dada anteriormente en este artículo. ${\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Integración por partes

Mediante la integración por partes, podemos obtener una fórmula explícita ^[3] Para cualquier , el valor absoluto del término de error disminuye y luego aumenta. El mínimo ocurre en , en cuyo punto . Se dice que este límite es "asintótico más allá de todos los órdenes". $${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ ${\displaystyle n\sim |z|}$ ${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

Propiedades

Unicidad para una escala asintótica dada

Para una escala asintótica dada, la expansión asintótica de la función es única. ^[4] Es decir, los coeficientes se determinan de forma única de la siguiente manera: donde es el punto límite de esta expansión asintótica (puede ser ). ${\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \pm \infty }$

No unicidad para una función dada

Una función dada puede tener muchas expansiones asintóticas (cada una con una escala asintótica diferente). ^[4] ${\displaystyle f(x)}$

Subdominancia

Una expansión asintótica puede ser una expansión asintótica de más de una función. ^[4]

Véase también

Campos relacionados

• Análisis asintótico
• Perturbación singular

Métodos asintóticos

• El lema de Watson
• Transformación de Mellin
• El método de Laplace
• Aproximación de fase estacionaria
• Método de equilibrio dominante
• Método de descenso más pronunciado

Notas

1. Jahnke, Hans Niels (2003). Una historia del análisis . Historia de las matemáticas. Providence (RI): Sociedad matemática americana. p. 190. ISBN 978-0-8218-2623-2.
2. Boyd, John P. (1999), "La invención del diablo: series asintóticas, superasintóticas e hiperasintóticas" (PDF) , Acta Applicandae Mathematicae , 56 (1): 1–98, doi :10.1023/A:1006145903624, hdl : 2027.42/41670.
3. O'Malley, Robert E. (2014), O'Malley, Robert E. (ed.), "Aproximaciones asintóticas", Desarrollos históricos en perturbaciones singulares , Cham: Springer International Publishing, págs. 27-51, doi :10.1007/978-3-319-11924-3_2, ISBN 978-3-319-11924-3, consultado el 4 de mayo de 2023
4. SJA Malham, "Una introducción al análisis asintótico", Universidad Heriot-Watt .

Referencias

• Ablowitz, MJ y Fokas, AS (2003). Variables complejas: introducción y aplicaciones . Cambridge University Press .
• Bender, CM y Orszag, SA (2013). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I: métodos asintóticos y teoría de perturbaciones . Springer Science & Business Media .
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Expansiones asintóticas de integrales , Dover Publications .
• Carrier, GF, Krook, M., y Pearson, CE (2005). Funciones de una variable compleja: teoría y técnica . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas .
• Copson, ET (1965), Expansiones asintóticas , Cambridge University Press .
• Dingle, RB (1973), Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press.
• Erdélyi, A. (1955), Expansiones asintóticas , Dover Publications .
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Expansiones asintóticas compuestas , Springer.
• Hardy, GH (1949), Serie Divergente , Oxford University Press .
• Olver, F. (1997). Asintótica y funciones especiales . AK Peters/CRC Press.
• París, RB, Kaminsky, D. (2001), Asintótica e integrales de Mellin-Barnes , Cambridge University Press .
• Pascal Remy (2024). Expansiones asintóticas y sumabilidad: aplicación a ecuaciones diferenciales parciales , Springer, LNM 2351.
• Whittaker, ET , Watson, GN (1963), Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press .

Enlaces externos

• "Expansión asintótica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Series asintóticas