Serie de Hilbert-Poincaré

En matemáticas , y en particular en el campo del álgebra , una serie de Hilbert-Poincaré (también conocida con el nombre de serie de Hilbert ), llamada así por David Hilbert y Henri Poincaré , es una adaptación de la noción de dimensión al contexto de las estructuras algebraicas graduadas (donde la dimensión de toda la estructura es a menudo infinita). Es una serie de potencias formales en un indeterminado, por ejemplo , donde el coeficiente de da la dimensión (o rango) de la subestructura de elementos homogéneos de grado . Está estrechamente relacionada con el polinomio de Hilbert en los casos en que este último existe; sin embargo, la serie de Hilbert-Poincaré describe el rango en cada grado, mientras que el polinomio de Hilbert lo describe solo en todos los grados excepto en un número finito, y por lo tanto proporciona menos información. En particular, la serie de Hilbert-Poincaré no se puede deducir del polinomio de Hilbert incluso si este último existe. En buenos casos, la serie de Hilbert-Poincaré se puede expresar como una función racional de su argumento . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Definición

Sea K un cuerpo y sea un espacio vectorial graduado sobre K , donde cada subespacio de vectores de grado i es de dimensión finita. Entonces la serie de Hilbert-Poincaré de V es la serie de potencias formal ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{i})t^{i}.}$^[1]

Se puede dar una definición similar para un módulo R -graduado sobre cualquier anillo conmutativo R en el que cada submódulo de elementos homogéneos de grado fijo n está libre de rango finito; basta con reemplazar la dimensión por el rango. A menudo, el espacio vectorial graduado o módulo del que se considera la serie de Hilbert-Poincaré tiene una estructura adicional, por ejemplo, la de un anillo, pero la serie de Hilbert-Poincaré es independiente de la estructura multiplicativa o de otro tipo. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Ejemplo: Dado que existen monomios de grado k en las variables (por inducción, digamos), se puede deducir que la suma de la serie de Hilbert-Poincaré de es la función racional . ^[2] ${\displaystyle \textstyle {\binom {n+k}{n}}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle K[X_{0},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle 1/(1-t)^{n+1}}$

Teorema de Hilbert-Serre

Supóngase que M es un módulo graduado finitamente generado sobre un anillo artiniano (por ejemplo, un cuerpo) A . Entonces la serie de Poincaré de M es un polinomio con coeficientes enteros dividido por . ^[3] La prueba estándar hoy es una inducción sobre n . La prueba original de Hilbert hizo uso del teorema de sicigia de Hilbert (una resolución proyectiva de M ), que proporciona más información homológica. ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}],\deg x_{i}=d_{i}}$ ${\displaystyle \prod (1-t^{d_{i}})}$

Aquí hay una prueba por inducción sobre el número n de indeterminados. Si , entonces, dado que M tiene longitud finita, si k es suficientemente grande. A continuación, supongamos que el teorema es verdadero para y consideremos la secuencia exacta de módulos graduados (exactamente en grados), con la notación , ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle M_{k}=0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle N(l)_{k}=N_{k+l}}$

${\displaystyle 0\to K(-d_{n})\to M(-d_{n}){\overset {x_{n}}{\to }}M\to C\to 0}$.

Como la longitud es aditiva, las series de Poincaré también lo son. Por lo tanto, tenemos:

${\displaystyle P(M,t)=-P(K(-d_{n}),t)+P(M(-d_{n}),t)-P(C,t)}$.

Podemos escribir . Puesto que K es asesinado por , podemos considerarlo como un módulo graduado sobre ; lo mismo es cierto para C . El teorema, por tanto, se deduce ahora de la hipótesis inductiva. ${\displaystyle P(M(-d_{n}),t)=t^{d_{n}}P(M,t)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle A[x_{0},\dots ,x_{n-1}]}$

Complejo de cadena

Un ejemplo de espacio vectorial graduado está asociado a un complejo de cadena o complejo de cocadena C de espacios vectoriales; este último toma la forma

${\displaystyle 0\to C^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}\longrightarrow 0.}$

La serie de Hilbert-Poincaré (aquí a menudo llamada polinomio de Poincaré) del espacio vectorial graduado para este complejo es ${\displaystyle \bigoplus _{i}C^{i}}$

${\displaystyle P_{C}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(C^{j})t^{j}.}$

El polinomio de Hilbert-Poincaré de la cohomología , con espacios de cohomología H ^j  =  H ^j ( C ), es

${\displaystyle P_{H}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(H^{j})t^{j}.}$

Una relación famosa entre ambos es que existe un polinomio con coeficientes no negativos, tal que ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle P_{C}(t)-P_{H}(t)=(1+t)Q(t).}$

Referencias

1. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 11.
2. Atiyah y Macdonald 1969, Cap. 11, un ejemplo justo después de la Proposición 11.3.
3. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 11, Teorema 11.1.

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.