La serie de Kempner [1] [2] : 31–33 es una modificación de la serie armónica , formada omitiendo todos los términos cuyo denominador expresado en base 10 contiene el dígito 9. Es decir, es la suma
donde la prima indica que n solo toma valores cuya expansión decimal no tiene nueves. La serie fue estudiada por primera vez por AJ Kempner en 1914. [3] La serie es contraintuitiva [1] porque, a diferencia de la serie armónica, converge. Kempner demostró que la suma de esta serie es menor que 90. Baillie [4] demostró que, redondeada a 20 decimales, la suma real es 22,92067 66192 64150 34816 (secuencia A082838 en la OEIS ).
Heurísticamente, esta serie converge porque la mayoría de los números enteros grandes contienen todos los dígitos. Por ejemplo, es muy probable que un número entero aleatorio de 100 dígitos contenga al menos un "9", lo que hace que quede excluido de la suma anterior.
Schmelzer y Baillie [5] encontraron un algoritmo eficiente para el problema más general de cualquier cadena de dígitos omitidos. Por ejemplo, la suma de 1/norte donde n no tiene instancias de "42" es aproximadamente 228.44630 41592 30813 25415. Otro ejemplo: la suma de 1/norte donde n no tiene ninguna ocurrencia de la cadena de dígitos "314159" es aproximadamente 2302582.33386 37826 07892 02376. (Todos los valores se redondean en el último decimal).
La prueba de convergencia de Kempner [3] se repite en algunos libros de texto, por ejemplo Hardy y Wright, [6] : 120 y también aparece como un ejercicio en Apostol. [7] : 212 Agrupamos los términos de la suma por el número de dígitos en el denominador. El número de números enteros positivos de n dígitos que no tienen ningún dígito igual a '9' es 8 × 9 n −1 porque hay 8 opciones (1 a 8) para el primer dígito y 9 opciones independientes (0 a 8) para cada uno de los otros n −1 dígitos. Cada uno de estos números que no tienen ningún '9' es mayor o igual a 10 n −1 , por lo que el recíproco de cada uno de estos números es menor o igual a 10 1− n . Por lo tanto, la contribución de este grupo a la suma de recíprocos es menor que 8 × ( 9/10 ) n −1 . Por lo tanto, la suma total de recíprocos es como máximo
El mismo argumento funciona para cualquier dígito omitido distinto de cero. La cantidad de números enteros positivos de n dígitos que no tienen '0' es 9 n , por lo que la suma de 1/norte donde n no tiene dígito '0' es como máximo
La serie también converge si se omiten cadenas de k dígitos, por ejemplo, si omitimos todos los denominadores que tienen la cadena decimal 42. Esto se puede demostrar casi de la misma manera. [5] Primero observamos que podemos trabajar con números en base 10 k y omitir todos los denominadores que tienen la cadena dada como un "dígito". El argumento análogo al caso de base 10 muestra que esta serie converge. Ahora, volviendo a la base 10, vemos que esta serie contiene todos los denominadores que omiten la cadena dada, así como los denominadores que la incluyen si no está en un límite de " k dígitos". Por ejemplo, si estamos omitiendo 42, la serie de base 100 omitiría 4217 y 1742, pero no 1427, por lo que es más grande que la serie que omite todos los 42.
Farhi [8] consideró series de Kempner generalizadas, es decir, las sumas S ( d , n ) de los recíprocos de los números enteros positivos que tienen exactamente n instancias del dígito d donde 0 ≤ d ≤ 9 (de modo que la serie original de Kempner es S (9, 0)). Demostró que para cada d la secuencia de valores S ( d , n ) para n ≥ 1 es decreciente y converge a 10 ln 10. La secuencia no es en general decreciente a partir de n = 0; por ejemplo, para la serie original de Kempner tenemos S (9, 0) ≈ 22,921 < 23,026 ≈ 10 ln 10 < S (9, n ) para n ≥ 1.
La serie converge extremadamente lentamente. Baillie [4] observa que después de sumar 10 24 términos el resto sigue siendo mayor que 1. [9]
El límite superior de 80 es muy burdo. En 1916, Irwin [10] demostró que el valor de la serie de Kempner está entre 22,4 y 23,3, y que, refinado al valor anterior, 22,92067... [4]
Baillie [4] consideró la suma de los recíprocos de las potencias j -ésimas simultáneamente para todos los j . Desarrolló una recursión que expresa la contribución de la potencia j -ésima del bloque de ( k + 1) dígitos en términos de todas las contribuciones de potencias superiores del bloque de k dígitos. Por lo tanto, con una pequeña cantidad de cálculo, la serie original (que es el valor para j = 1, sumado sobre todos los k ) se puede estimar con precisión.
En 1916, Irwin [10] también generalizó los resultados de Kempner. Sea k un entero no negativo. Irwin demostró que la suma de 1/ n, donde n tiene como máximo k ocurrencias de cualquier dígito d, es una serie convergente.
Por ejemplo, la suma de 1/ n donde n tiene como máximo un 9, es una serie convergente. Pero la suma de 1/ n donde n no tiene ningún 9 es convergente. Por lo tanto, la suma de 1/ n donde n tiene exactamente un 9, también es convergente. Baillie [11] demostró que la suma de esta última serie es aproximadamente 23.04428 70807 47848 31968 .
