corte de guillotina

Proceso de producción de pequeños artículos rectangulares de dimensiones fijas.

Un corte de guillotina: una hoja optimizada de rectángulos más pequeños que se pueden dividir intactos mediante la serie correcta de cortes bisecantes de un extremo a otro.

Un corte sin guillotina: estos rectángulos no se pueden separar haciendo cortes bisectores únicos a lo largo del plano.

El corte con guillotina es el proceso de producir pequeños artículos rectangulares de dimensiones fijas a partir de una hoja rectangular grande determinada, utilizando únicamente cortes de guillotina. Un corte de guillotina (también llamado corte de borde a borde ) es una línea bisectriz recta que va desde un borde de un rectángulo existente hasta el borde opuesto, de manera similar a una guillotina de papel .

El corte con guillotina es particularmente común en la industria del vidrio . Las láminas de vidrio se marcan a lo largo de líneas horizontales y verticales y luego se rompen a lo largo de estas líneas para obtener paneles más pequeños. ^[1] También es útil para cortar placas de acero , cortar láminas de madera para fabricar muebles y cortar cartón en cajas. ^[2]

Existen diversos problemas de optimización relacionados con el corte con guillotina, tales como: maximizar el área total de las piezas producidas, o su valor total; Minimice la cantidad de desperdicios (partes no utilizadas) de la hoja grande o el número total de hojas. Se han estudiado en geometría combinatoria , investigación de operaciones e ingeniería industrial . ^[3]

Un problema relacionado pero diferente es la partición en guillotina . En ese problema, las dimensiones de los rectángulos pequeños no están fijadas de antemano. El desafío surge del hecho de que la hoja original puede no ser rectangular, sino que puede ser cualquier polígono rectilíneo. En particular, podría contener agujeros (que representan defectos en la materia prima). El objetivo de optimización suele ser minimizar el número de rectángulos pequeños o minimizar la longitud total de los cortes.

Terminología y supuestos

Los siguientes términos y notaciones se utilizan a menudo en la literatura sobre corte con guillotina.

• El rectángulo grande , también llamado hoja de stock , es la hoja rectangular en bruto que debe cortarse. Se caracteriza por su ancho W ₀ y alto H ₀ , que son las entradas principales al problema.
• Los pequeños rectángulos , también llamados elementos , son las salidas necesarias del corte. Se caracterizan por su ancho w _i y alto h _i y para i en 1,..., m , donde m es el número de rectángulos. A menudo se permite tener varios rectángulos de las mismas dimensiones; en este caso, el par de dimensiones ( w _i , h _i ) suele denominarse tipo .
• Un patrón de corte , a menudo llamado simplemente patrón , es una disposición de pequeños rectángulos en la hoja de material. Puede darse como una secuencia de puntos ( _{xi, yi} ) _, para i en 1,..., m , donde ( xi, yi ₎ es _la coordenada inferior izquierda del rectángulo i . En tal patrón, el rectángulo i ocupa un segmento horizontal ( x _i , x _i + w _i ) y un segmento vertical ( y _i , y _i + h _i ).
• Una construcción se refiere a construir un nuevo rectángulo uniendo dos rectángulos más pequeños. Debido a la restricción de guillotina, solo hay dos tipos de construcciones: en una construcción horizontal, el rectángulo combinado tiene ancho w _i + w _j y altura máxima ( h _i , h _j ); en una construcción vertical, el rectángulo combinado tiene un ancho máximo ( w _i , w _j ) y alto h _i + h _j . Cada patrón se puede representar como una secuencia recursiva de construcciones. Cada secuencia recursiva de construcciones corresponde a muchos patrones diferentes, que tienen una estructura combinatoria equivalente; el conjunto de todos los patrones correspondientes a la misma construcción recursiva se denomina clase de corte de guillotina . ^[4]

Algunos problemas aceptan entradas adicionales, como se explica a continuación. El objetivo es cortar, del rectángulo en bruto, algunos rectángulos más pequeños que tengan las dimensiones deseadas. A menudo se hacen las siguientes suposiciones: ^[2]

• Todos los cortes tienen ancho cero. Esto no pierde mucha generalidad, ya que si cada corte tiene un ancho fijo de d >0, entonces el problema se puede reducir a la variante de ancho cero simplemente sumando d a w _i y h _i para i en 0,... , metro .
• Las dimensiones de destino no se pueden rotar, es decir, w -by- h no es del mismo tipo que h -by- w . Esto no pierde mucha generalidad, ya que la variante en la que los rectángulos se pueden rotar se puede reducir a la variante no rotativa agregando explícitamente los patrones rotados.

Comprobando un patrón dado

En el problema de verificación de patrón , hay un patrón de corte dado como una secuencia de puntos ( xi _, yi ) , para i en 1,..., _m , donde ( xi _, yi ₎ es la parte inferior izquierda . coordenada del rectángulo i (hay un solo rectángulo de cada dimensión objetivo). El objetivo es decidir si este patrón se puede implementar utilizando únicamente cortes de guillotina y, de ser así, encontrar una secuencia de dichos cortes.

Una condición necesaria obvia es que no se superpongan dos rectángulos de entrada en ambas dimensiones. Ben Messaoud, Chengbin y Espinouse ^[5] presentan una condición más fuerte, que es a la vez necesaria y suficiente. Los rectángulos de entrada están ordenados de izquierda a derecha, de modo que x ₁ ≤ ... ≤ x _m . Existe una permutación p en los índices tal que, con esta permutación, los rectángulos quedarían ordenados de abajo hacia arriba, es decir, y _{p (1)} ≤ ... ≤ y _{p ( m )} . Dados cuatro índices i ₁ ≤ i ₂ y j ₁ ≤ j ₂ , el conjunto E( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j ₂ ) contiene los índices de todos los rectángulos cuya esquina inferior izquierda está en el rectángulo [ x _{i 1} , x _{i 2} ] X [ y _{p ( j 1 )} , y _{p ( j 2 )} ]. Un patrón de corte es un patrón de guillotina si y sólo si, para todos los cuatrillizos de índices i ₁ ≤ i ₂ y j ₁ ≤ j ₂ , se cumple al menos una de las siguientes condiciones para E( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j2 ₎ :

1. E( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j ₂ ) contiene como máximo un elemento;
2. La unión de los segmentos horizontales ( x _i , x _i + w _i ), sobre todo i en E( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j ₂ ), se compone de al menos dos intervalos disjuntos;
3. La unión de los segmentos verticales ( y _i , y _i + h _i ), sobre todo i en E( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j ₂ ), se compone de al menos dos intervalos disjuntos.

La condición 2 implica que los rectángulos en E ( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j ₂ ) pueden separarse mediante un corte vertical (que va entre los dos intervalos horizontales disjuntos); La condición 3 implica que los rectángulos en E ( i ₁ , i ₂ , j ₁ , j ₂ ) pueden separarse mediante un corte horizontal. Todas las condiciones juntas implican que, si cualquier conjunto de rectángulos adyacentes contiene más de un elemento, entonces pueden separarse mediante algún corte de guillotina.

Esta condición se puede verificar mediante el siguiente algoritmo.

• En cada iteración, divida un patrón determinado, que contenga al menos dos rectángulos, en dos subpatrones separados utilizando un corte de guillotina y recurra a cada subpatrón.
• Deténgase cuando todos los subpatrones contengan un rectángulo (en cuyo caso la respuesta es "sí") o no sean posibles más cortes de guillotina (en cuyo caso la respuesta sea "no").

Encontrar un corte de guillotina para un patrón determinado se realiza de la siguiente manera:

• Determine los m intervalos horizontales y ordénelos de izquierda a derecha; determine los m intervalos verticales y ordénelos de abajo hacia arriba. Esto lleva O( m log m ) tiempo.
• Fusionar intervalos horizontales superpuestos y fusionar intervalos verticales superpuestos. Esto lleva O( m ) tiempo.
• Si después de la fusión quedan al menos dos intervalos horizontales separados, entonces es posible un corte de guillotina vertical; si hay al menos dos intervalos verticales separados, entonces es posible un corte horizontal; de lo contrario no será posible realizar ningún corte.

El paso de pedido se realiza una vez y el paso de fusión se realiza m -1 veces. Por lo tanto, el tiempo de ejecución de todo el algoritmo es O ( m ² ).

Cuando el algoritmo devuelve "sí", también produce una secuencia de cortes de guillotina; cuando devuelve "no", también produce subconjuntos específicos de rectángulos que no pueden separarse mediante cortes de guillotina.

La condición necesaria y suficiente se puede utilizar para presentar el problema de corte de tiras con guillotina como un programa lineal entero mixto . ^{[5] : sección 5} Su modelo tiene 3 n ⁴ /4 variables binarias y 2 n ⁴ restricciones, y no se considera útil en la práctica.

Encontrar un patrón de corte óptimo

Estas son variantes de los problemas de material de corte bidimensional , embalaje en contenedor y embalaje rectangular , donde los cortes están obligados a ser cortes de guillotina. ^[6]

• En el problema básico ( no ponderado ) de corte con guillotina, el resultado requerido es una secuencia de cortes con guillotina que producen piezas de las dimensiones objetivo, de manera que se maximiza el área total de las piezas producidas (de manera equivalente, se minimiza el desperdicio del rectángulo en bruto). .
• En la variante ponderada , para cada dimensión objetivo i , también hay un valor v _i . El objetivo es entonces maximizar el valor total de las piezas producidas. La variante no ponderada (minimización de residuos) se puede reducir a la variante ponderada haciendo que el valor de cada dimensión objetivo sea igual a su área ( vi = _h i _* wi ₎ .
• En la variante restringida , para cada dimensión objetivo i , hay un límite superior bi en el _número de piezas que se pueden producir de ese tipo.
  • En la variante doblemente restringida , para cada dimensión objetivo i hay un límite inferior a _i y un límite superior b _i en el número de piezas producidas.
• La variante binaria es una variante restringida en la que cada dimensión objetivo debe aparecer como máximo una vez (es decir, el límite superior es 1). Este caso está asociado con un problema de decisión , donde el objetivo es decidir si es posible producir un solo elemento de cada dimensión objetivo mediante cortes de guillotina. ^[4]
• En el problema de corte de tiras de guillotina , el rectángulo grande tiene una altura infinita (pero un ancho fijo) y el objetivo es cortar un solo rectángulo de cada tipo, de modo que se minimice el material total utilizado (equivalentemente, la altura total). Es una variante del problema del embalaje en tiras bidimensional .
• En el problema de minimización de existencias , hay un número infinito de hojas en existencia de las mismas dimensiones y el objetivo es cortar todos los rectángulos objetivo requeridos utilizando la menor cantidad posible de hojas. ^[5] Es una variante del problema del embalaje en contenedores bidimensional . ^[7]
• El corte con guillotina en k etapas es una variante restringida del corte con guillotina en la que el corte se realiza como máximo en k etapas: en la primera etapa, solo se realizan cortes horizontales; en la segunda etapa sólo se realizan cortes verticales; etcétera.
  • En la variante de 2 etapas, otra distinción es si todas las tiras resultantes de la primera etapa se cortan en los mismos lugares (llamados "1 grupo") o en dos lugares diferentes (llamados "2 grupos") o en posiblemente diferentes ubicaciones (llamadas "gratuitas"). ^[8]
• 1-El corte con guillotina simple es una variante restringida del corte con guillotina en la que cada corte separa un solo rectángulo.
  • Un corte de guillotina de 2 simples es un patrón de 1 simple, de modo que cada parte es en sí misma un patrón de 1 simple. p -los patrones de corte simples se pueden definir de forma recursiva. ^[9]

Algoritmos de optimización

El caso especial en el que sólo hay un tipo (es decir, todos los rectángulos objetivo son idénticos y tienen la misma orientación) se denomina problema de carga de paletas con guillotina . Tarnowski, Terno y Scheithauer ^[10] presentan un algoritmo de tiempo polinomial para resolverlo.

Sin embargo, cuando hay dos o más tipos, todos los problemas de optimización relacionados con el corte con guillotina son NP difíciles . Debido a su importancia práctica, se han ideado varios algoritmos exactos y de aproximación .

• Gilmore y Gomory ^{[11] [12]} presentaron una recursividad de programación dinámica para el corte con guillotina tanto por etapas como sin etapas. Sin embargo, más tarde se demostró ^{[13] [2]} que ambos algoritmos contenían errores. Beasley ^[2] presentó un algoritmo de programación dinámica correcto.
• Herz ^[13] y Christofides y Whitlock ^[14] presentaron procedimientos de búsqueda de árboles para el corte con guillotina sin etapas.
• Masden ^[15] y Wang ^[16] presentaron algoritmos heurísticos .
• Hiffi, M'Hallah y Saadi ^[6] proponen un algoritmo para el problema del corte con guillotina doblemente restringido. Es un algoritmo enlazado y de rama ascendente que utiliza la búsqueda del mejor primero .
• Clautiaux, Jouglet y Moukrim ^[4] proponen un algoritmo exacto para el problema de decisión. Su algoritmo utiliza una representación compacta de clases de patrones de corte de guillotina, utilizando un gráfico dirigido al que llaman gráfico de guillotina . Cada arco en este gráfico está coloreado en uno de dos colores: "horizontal" o "vertical". Cada ciclo dirigido monocromático en este gráfico corresponde a una construcción. Al contraer repetidamente ciclos monocromáticos, se puede recuperar una secuencia de construcción recursiva que representa una clase de patrón de corte. Cada gráfico de guillotina contiene entre my 2 m -2 arcos. Un tipo especial de gráficos de guillotina llamados gráficos de guillotina normales tienen la interesante propiedad de contener un circuito hamiltoniano único . Ordenar los vértices de acuerdo con este circuito hace que el gráfico sea un gráfico de guillotina normal bien ordenado ; existe una correspondencia uno a uno entre dichos gráficos y clases de patrones de corte. Luego resuelven el problema de optimización utilizando programación de restricciones en el espacio de gráficos de guillotina normales bien ordenados.
• Russo, Boccia, Sforza y ​​Sterle ^[8] revisan más de 90 artículos que tratan sobre el corte con guillotina restringido y sin etapas (con límites superiores de cantidad), tanto ponderados como no ponderados. Hay dos enfoques principales para soluciones exactas: programación dinámica y búsqueda de árbol (ramificación y límite). Los enfoques de búsqueda de árbol se clasifican además como de abajo hacia arriba (comenzando con rectángulos individuales y usando compilaciones para construir la hoja completa) o de arriba hacia abajo . En todos los enfoques, es importante encontrar buenos límites superior e inferior para recortar el espacio de búsqueda de manera eficiente. Estos límites a menudo provienen de soluciones a variantes relacionadas, por ejemplo, variantes sin restricciones, por etapas y sin guillotina.
• Abou Msabah, Slimane y Ahmed Riadh Baba-Ali. "Una nueva heurística de colocación de guillotina combinada con un algoritmo genético mejorado para el problema del material de corte ortogonal". Conferencia Internacional IEEE 2011 sobre Ingeniería Industrial y Gestión de Ingeniería . IEEE, 2011.
• Abou-Msabah, Slimane, Ahmed-Riadh Baba-Ali y Basma Sager. "Un algoritmo genético de estabilidad controlada con la nueva heurística de colocación de guillotina BLF2G para el problema del material de corte ortogonal". Revista Internacional de Informática Cognitiva e Inteligencia Natural (IJCINI) 13, no. 4 (2019): 91-111.

Implementaciones

• McHale y Shah ^[17] escribieron un programa Prolog que implementa un algoritmo en cualquier momento : genera soluciones aproximadamente óptimas en un período de tiempo determinado y luego las mejora si el usuario permite más tiempo. El programa fue utilizado por un productor de papel especial y ha reducido el tiempo necesario para el diseño de las hojas y, al mismo tiempo, ha reducido el desperdicio.

Separación de guillotina

La separación de guillotina es un problema relacionado en el que la entrada es una colección de n objetos convexos separados por pares en el plano, y el objetivo es separarlos mediante una secuencia de cortes de guillotina. Obviamente, puede que no sea posible separarlos a todos. Jorge Urrutia Galicia preguntó ^[18] si es posible separar una fracción constante de ellos, es decir, si existe una constante c tal que, en cualquier colección de tamaño n, exista un subconjunto de tamaño cn que sean guillotina- separable.

Pach y Tardos ^[19] demostraron:

• Si todos los objetos son de tamaño similar, entonces se puede separar una fracción constante de ellos. Formalmente, si todos los objetos contienen un círculo de radio r y están contenidos en un círculo de radio R , entonces hay un conjunto separable de tamaño . Prueba : construya una cuadrícula con un tamaño de celda de 8 R por 8 R. Mueva la cuadrícula uniformemente al azar. Cada objeto es intersectado por una línea horizontal con probabilidad de 1/4 y también por una línea vertical con probabilidad de 1/4, por lo que el número esperado de objetos intersecados es . Por lo tanto, existen líneas de cuadrícula que se cruzan en la mayoría de los objetos. Dado que el área de cada celda de la cuadrícula es y el área de cada objeto es al menos , cada celda contiene como máximo objetos. Elija un solo objeto de cada celda y sepárelo de los demás objetos en la misma celda. El número total de objetos separados de esta manera es al menos. Un argumento similar para el caso de los cuadrados unitarios da ${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{128R^{2}}}n\approx {\frac {1}{40.7(R/r)^{2}}}n}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle (8R)^{2}}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {(8R)^{2}}{\pi r^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {n}{2}}/{\frac {(8R)^{2}}{\pi r^{2}}}={\frac {\pi r^{2}}{128R^{2}}}n.}$ ${\displaystyle {\frac {1}{27}}n.}$
• Si los objetos son segmentos de línea recta, en algunos casos sólo se pueden separar la mayoría de ellos. En particular, para cada entero positivo k , existe una familia de intervalos disjuntos tales que como máximo pueden separarse. ${\displaystyle O(n^{\log _{3}{2}})\approx O(n^{0.63})}$ ${\displaystyle 3^{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$
• En cualquier colección de n objetos convexos, al menos se pueden separar. ${\displaystyle \Omega (n^{1/3})}$
• En cualquier colección de n segmentos de línea recta, al menos se pueden separar. Conjeturan que el peor de los casos se puede alcanzar mediante segmentos de línea. ${\displaystyle \Omega (n^{1/2})}$
• En cualquier colección de n rectángulos paralelos a los ejes, al menos se pueden separar. Conjeturan que se puede separar; Esta conjetura aún está abierta. ${\displaystyle n/(2\log {n})}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$
• En cualquier colección de objetos R - fat (el disco que contiene más pequeño es como máximo R veces el disco contenido más grande), se pueden guardar al menos objetos, donde es una constante que depende solo de R . ${\displaystyle n/(c_{R}\log {n})}$ ${\displaystyle c_{R}}$
  • Un teorema análogo también es válido en dimensiones superiores: el número de objetos separables es . ${\displaystyle n/c(R,d)(\log {n})^{d}}$
• Todas estas subfamilias separables pueden construirse en el tiempo . Si los objetos son polígonos con N lados en total, entonces las líneas de separación se pueden calcular en el tiempo . ${\displaystyle O(n\log {n})}$ ${\displaystyle O(N+n\log {n})}$

Abed, Chalermsook, Correa, Karrenbauer, Pérez-Lantero, Soto y Wiese ^[20] demostraron:

• En cualquier colección de n cuadrados unitarios paralelos a los ejes, al menos n /2 se pueden separar, y hay casos en los que como máximo n /2 se pueden separar.
• En cualquier colección de n cuadrados paralelos a los ejes, se pueden separar al menos n /81.
• En cualquier colección de n cuadrados paralelos a ejes con pesos, se pueden separar al menos 4/729 del peso total.
• En cualquier colección de cubos de n ejes paralelos d -dimensionales con pesos, se puede separar el peso total. ${\displaystyle 1/2^{O(d)}}$
• Respecto a la conjetura de que es posible un rectángulo de ejes paralelos separados, si bien no la resuelven, muestran que, si es correcta, entonces implica un algoritmo de aproximación O(1) al problema del conjunto máximo disjunto de ejes paralelos. rectángulos en el tiempo . ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle O(n^{5})}$

Khan y Pittu ^[21] demostraron:

• Con n rectángulos paralelos a los ejes, si solo se permiten etapas, entonces no es posible separar rectángulos. ${\displaystyle o(\log \log n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$
• Cuando se pesan los rectángulos, si sólo se permiten etapas, entonces no es posible separar el peso. ${\displaystyle o(\log {n}/\log \log {n})}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$
• Existe un algoritmo simple de 2 etapas que separa rectángulos. El algoritmo divide los rectángulos en subconjuntos (llamados "niveles") y elige el nivel con el mayor número de rectángulos. Cada nivel puede estar separado por dos cortes de guillotina. ^{[21] : Thm.14} Un algoritmo mejorado puede separar rectángulos. ${\displaystyle n/(1+\log _{2}{n})}$ ${\displaystyle 1+\log _{2}{n}}$ ${\displaystyle n/\log _{3}{(n+2)}}$
• En cualquier colección de rectángulos gruesos , se pueden separar. ${\displaystyle \Omega (n)}$
• En cualquier colección de n cuadrados paralelos a los ejes, se pueden separar al menos n /40.
• En cualquier colección de n cuadrados paralelos a ejes con pesos, se puede separar al menos una fracción de 1/80 del peso total.

Ver también:

• Separador geométrico
• Teorema de separación de hiperplanos

Más variantes

Algunas variantes del problema estudiadas recientemente incluyen:

• Corte con guillotina en tres dimensiones. ^{[22] [23]}
• Corte con guillotina cuando el rectángulo en bruto puede tener defectos, pero los rectángulos producidos deben estar libres de defectos. ^[24]

Referencias

1. Tlilane, Lydia; Viaud, Quentin (18 de mayo de 2018). «Desafío ROADEF/EURO 2018 Descripción del problema de optimización de corte» (PDF) . Desafío ROADEF/EURO . ROADEF . Consultado el 13 de junio de 2019 .
2. Beasley, JE (1 de abril de 1985). "Algoritmos para corte de guillotina bidimensional sin restricciones". Revista de la Sociedad de Investigación Operativa . 36 (4): 297–306. doi :10.1057/jors.1985.51. ISSN  0160-5682. S2CID  58059319.
3. Gerhard Wäscher, Heike Haußner, Holger Schumann, Una tipología mejorada de problemas de corte y embalaje, European Journal of Operational Research 183 (2007) 1109–1130, [1]
4. Clautiaux, François; Jouglet, Antoine; Moukrim, Aziz (17 de octubre de 2011). "Un nuevo modelo teórico de grafos para el problema del corte de guillotina". Revista INFORMA de Informática . 25 (1): 72–86. doi :10.1287/ijoc.1110.0478. ISSN  1091-9856.
5. Ben Messaoud, dijo; Chu, Chengbin; Espinouse, Marie-Laure (16 de noviembre de 2008). "Caracterización y modelado de restricciones de guillotina". Revista europea de investigación operativa . 191 (1): 112-126. doi :10.1016/j.ejor.2007.08.029. ISSN  0377-2217.
6. M. Hifi, R. M'Hallah y T. Saadi, Algoritmos aproximados y exactos para el problema del material de corte de guillotina bidimensional con doble restricción. Optimización y aplicaciones computacionales, volumen 42, número 2 (2009), 303-326, doi :10.1007/s10589-007-9081-5
7. Carlier, Jacques; Clautiaux, François; Moukrim, Aziz (1 de agosto de 2007). "Nuevos procedimientos de reducción y límites inferiores para el problema del embalaje de contenedores bidimensionales con orientación fija". Investigación de operaciones y computadoras . 34 (8): 2223–2250. doi :10.1016/j.cor.2005.08.012. ISSN  0305-0548.
8. Russo, Mauro; Boccia, Mauricio; Sforza, Antonio; Sterle, Claudio (2020). "Problema de corte de guillotina bidimensional restringido: revisión y categorización del límite superior". Transacciones Internacionales en Investigación Operativa . 27 (2): 794–834. doi :10.1111/itor.12687. ISSN  1475-3995. S2CID  195551953.
9. Scheithauer, Guntram (1993). "Cálculo de patrones de corte de guillotina φ-simples óptimos" (PDF) . Revista de Procesamiento de Información y Cibernética . 29 (2): 115-128.
10. Tarnowski, AG; Terno, J.; Scheithauer, G. (1 de noviembre de 1994). "Un algoritmo de tiempo polinomial para el problema de carga de paletas de guillotina". INFOR: Sistemas de Información e Investigación Operativa . 32 (4): 275–287. doi :10.1080/03155986.1994.11732257. ISSN  0315-5986.
11. Gilmore, ordenador personal; Gomory, RE (1 de febrero de 1965). "Problemas de corte de stock en varias etapas de dos o más dimensiones". La investigación de operaciones . 13 (1): 94-120. doi :10.1287/opre.13.1.94. ISSN  0030-364X.
12. Gilmore, ordenador personal; Gomory, RE (1 de diciembre de 1966). "La teoría y computación de las funciones de mochila". La investigación de operaciones . 14 (6): 1045-1074. doi :10.1287/opre.14.6.1045. ISSN  0030-364X.
13. Herz, JC (septiembre de 1972). "Procedimiento computacional recursivo para el corte de stock bidimensional". Revista IBM de investigación y desarrollo . 16 (5): 462–469. doi :10.1147/rd.165.0462. ISSN  0018-8646.
14. Christofides, Nicos; Whitlock, Charles (1 de febrero de 1977). "Un algoritmo para problemas de corte bidimensional". La investigación de operaciones . 25 (1): 30–44. doi :10.1287/opre.25.1.30. ISSN  0030-364X.
15. OBG Masden (1980), documento de trabajo de IMSOR, Universidad Técnica de Dinamarca, Lyngby
16. Wang, PY (1 de junio de 1983). "Dos algoritmos para problemas de material de corte bidimensional restringido". La investigación de operaciones . 31 (3): 573–586. doi :10.1287/opre.31.3.573. ISSN  0030-364X.
17. Michael L. McHale, Roshan P. Shah Cortando la guillotina al tamaño adecuado. Revista PC AI, volumen 13, número 1, enero/febrero de 99. http://www.amzi.com/articles/papercutter.htm
18. Problema presentado en ACCOTA '96, Aspectos combinatorios y computacionales de la topología y álgebra de optimización, Taxco, México 1996
19. Pach, J.; Tardós, G. (2000). "Cortando Vidrio". Geometría Discreta y Computacional . 24 (2–3): 481–496. doi : 10.1007/s004540010050 . ISSN  0179-5376. S2CID  1737527.
20. Abed, Fidaa; Chalermsook, Parinya; Correa, José; Karrenbauer, Andreas; Pérez-Lantero, Pablo; Soto, José A.; Wiese, Andreas (2015). Sobre secuencias de corte con guillotina. págs. 1-19. doi :10.4230/LIPIcs.APPROX-RANDOM.2015.1. ISBN 978-3-939897-89-7.
21. Khan, Arindam; Pittu, Madhusudhan Reddy (2020). Byrka, Jaros\law; Meka, Raghu (eds.). "Sobre la separabilidad de cuadrados y rectángulos en guillotina". Aproximación, aleatorización y optimización combinatoria. Algoritmos y Técnicas (APROX/RANDOM 2020) . Procedimientos internacionales de informática de Leibniz (LIPIcs). 176 . Dagstuhl, Alemania: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik: 47:1–47:22. doi : 10.4230/LIPIcs.APPROX/RANDOM.2020.47. ISBN 978-3-95977-164-1.
22. Martín, Mateus; Oliveira, José Fernando; Silva, Elsa; Morabito, Reinaldo; Munari, Pedro (08/11/2020). "Problemas de corte de guillotina tridimensional con patrones restringidos: formulaciones MILP y un algoritmo ascendente". Sistemas Expertos con Aplicaciones . 168 : 114257. doi : 10.1016/j.eswa.2020.114257. ISSN  0957-4174. S2CID  228839108.
23. Baazaoui, M.; Hanafi, S.; Kamoun, H. (1 de noviembre de 2014). "Una formulación matemática y un límite inferior para el problema tridimensional de embalaje de contenedores de tamaños múltiples (MBSBPP): un caso industrial tunecino". 2014 Congreso Internacional sobre Tecnologías de Control, Decisión y Información (CoDIT) . págs. 219-224. doi :10.1109/CoDIT.2014.6996896. ISBN 978-1-4799-6773-5. S2CID  18598442.
24. Martín, Mateus; Hokama, Pedro HDB; Morabito, Reinaldo; Munari, Pedro (2020-05-02). "El problema de corte de guillotina bidimensional restringido con defectos: una formulación ILP, una descomposición de Benders y un algoritmo basado en CP". Revista Internacional de Investigación sobre Producción . 58 (9): 2712–2729. doi :10.1080/00207543.2019.1630773. ISSN  0020-7543. S2CID  197434029.

Abou Msabah, Slimane y Ahmed Riadh Baba-Ali. "Una nueva heurística de colocación de guillotina combinada con un algoritmo genético mejorado para el problema del material de corte ortogonal". Conferencia Internacional IEEE 2011 sobre Ingeniería Industrial y Gestión de Ingeniería . IEEE, 2011.