Objeto gordo (geometría)

En geometría , un objeto gordo es un objeto en dos o más dimensiones, cuyas longitudes en las diferentes dimensiones son similares. Por ejemplo, un cuadrado es gordo porque su longitud y anchura son idénticas. Un rectángulo de 2 por 1 es más delgado que un cuadrado, pero es gordo en relación con un rectángulo de 10 por 1. De manera similar, un círculo es más gordo que una elipse de 1 por 10 y un triángulo equilátero es más gordo que un triángulo muy obtuso .

Los objetos gordos son especialmente importantes en la geometría computacional . Muchos algoritmos de geometría computacional pueden funcionar mucho mejor si su entrada consiste únicamente en objetos gordos; consulte la sección de aplicaciones a continuación.

Obesidad global

Dado un valor constante R ≥1, un objeto o se denomina R -gordo si su "factor de delgadez" es como máximo R . El "factor de delgadez" tiene distintas definiciones en distintos artículos. Una definición común ^[1] es:

${\displaystyle {\frac {{\text{side of smallest cube enclosing}}\ o}{{\text{side of largest cube enclosed in}}\ o}}}$

donde o y los cubos son d -dimensionales. Un cubo bidimensional es un cuadrado , por lo que el factor de esbeltez de un cuadrado es 1 (ya que su cuadrado circundante más pequeño es el mismo que su disco circundante más grande). El factor de esbeltez de un rectángulo de 10 por 1 es 10. El factor de esbeltez de un círculo es √2. Por lo tanto, por esta definición, un cuadrado es 1-gordo pero un disco y un rectángulo de 10×1 no son 1-gordo. Un cuadrado también es 2-gordo (ya que su factor de esbeltez es menor que 2), 3-gordo, etc. Un disco también es 2-gordo (y también 3-gordo, etc.), pero un rectángulo de 10×1 no es 2-gordo. Toda forma es ∞-gorda, ya que por definición el factor de esbeltez es siempre como máximo ∞.

La definición anterior puede denominarse gordura de dos cubos, ya que se basa en la relación entre las longitudes de los lados de dos cubos. De manera similar, es posible definir la gordura de dos bolas , en la que se utiliza una bola de dimensión d . ^[2] Una bola de dos dimensiones es un disco . Según esta definición alternativa, un disco es 1-gordo, pero un cuadrado no es 1-gordo, ya que su delgadez de dos bolas es √2.

Una definición alternativa, que puede denominarse grosor de bola envolvente (también llamada "grosor" ^[3] ), se basa en el siguiente factor de delgadez:

${\displaystyle \left({\frac {{\text{volume of smallest ball enclosing}}\ o}{{\text{volume of}}\ o}}\right)^{1/d}}$

El exponente 1/ d hace de esta definición una relación de dos longitudes, de modo que es comparable a la gordura de dos bolas.

También aquí se puede utilizar un cubo en lugar de una pelota.

De manera similar, es posible definir la gordura de la bola encerrada en función del siguiente factor de delgadez:

${\displaystyle \left({\frac {{\text{volume of}}\ o}{{\text{volume of largest ball enclosed in}}\ o}}\right)^{1/d}}$

Gordura envolvente vs. gordura encerrada

La delgadez de la bola o cubo envolvente puede ser muy diferente de la delgadez de la bola o cubo encerrado.

Por ejemplo, considere una piruleta con un caramelo en forma de cuadrado de 1×1 y un palito en forma de rectángulo b ×(1/ b ) (con b >1>(1/ b )). A medida que b aumenta, el área del cubo que lo encierra (≈ b ² ) aumenta, pero el área del cubo encerrado permanece constante (=1) y el área total de la forma también permanece constante (=2). Por lo tanto, la delgadez del cubo encerrado puede crecer arbitrariamente mientras que la delgadez del cubo encerrado permanece constante (=√2). Vea esta página de GeoGebra para una demostración.

Por otra parte, consideremos una 'serpiente' rectilínea con ancho 1/b y largo b , que está completamente plegada dentro de un cuadrado de lado 1. A medida que b aumenta, el área del cubo encerrado (≈1/ b ² ) disminuye, pero las áreas totales de la serpiente y del cubo que lo encierra permanecen constantes (=1). Por lo tanto, la delgadez del cubo encerrado puede crecer arbitrariamente mientras que la del cubo que lo encierra permanece constante (=1).

Tanto en la piruleta como en la serpiente, la delgadez de dos cubos crece arbitrariamente, ya que en general:

delgadez de bola envolvente ⋅ delgadez de bola encerrada = delgadez de dos bolas

esbeltez del cubo envolvente ⋅ esbeltez del cubo envolvente = esbeltez de dos cubos

Dado que todos los factores de delgadez son al menos 1, se deduce que si un objeto o es R-gordo según la definición de dos bolas/cubos, también es R-gordo según las definiciones de bola/cubo envolvente y bola/cubo encerrado (pero lo opuesto no es cierto, como se ejemplifica anteriormente).

Bolas vs. cubos

El volumen de una bola de dimensión d y radio r es : , donde V _d es una constante dependiente de la dimensión: ${\displaystyle V_{d}\cdot r^{d}}$

${\displaystyle V_{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}}$

Un cubo de dimensión d con una longitud de lado de 2 a tiene un volumen (2 a ) ^d . Está encerrado en una bola de dimensión d con un radio a√d cuyo volumen es V _d ( a√d ) ^d . Por lo tanto, para cada objeto de dimensión d :

delgadez de la bola envolvente ≤ delgadez del cubo envolvente ⋅ . ${\displaystyle {V_{d}}^{1/d}\cdot {\sqrt {d}}/2}$

Para dimensiones pares ( d = 2 k ), el factor se simplifica a: . En particular, para formas bidimensionales V ₂ =π y el factor es: √(0,5 π)≈1,25, por lo que: ${\displaystyle {\sqrt {0.5\pi k}}/{{(k!)}^{1/2k}}}$

delgadez del disco envolvente ≤ delgadez del cuadrado envolvente ⋅ 1,25

De consideraciones similares:

delgadez de cubo cerrado ≤ delgadez de bola cerrada ⋅ ${\displaystyle {V_{d}}^{1/d}\cdot {\sqrt {d}}/2}$

delgadez cuadrada encerrada ≤ delgadez de disco encerrado ⋅ 1,25

Una bola de dimensión d con radio a está encerrada en un cubo de dimensión d con una longitud de lado de 2 a . Por lo tanto, para cada objeto de dimensión d :

esbeltez del cubo envolvente ≤ esbeltez de la bola envolvente ⋅ ${\displaystyle 2/{V_{d}}^{1/d}}$

Para dimensiones pares ( d = 2 k ), el factor se simplifica a: . En particular, para formas bidimensionales el factor es: 2/√π≈1.13, por lo que: ${\displaystyle 2/{(k!)}^{1/2k}/{\sqrt {\pi }}}$

delgadez del cuadrado envolvente ≤ delgadez del disco envolvente ⋅ 1,13

De consideraciones similares:

delgadez de bola encerrada ≤ delgadez de cubo encerrado ⋅ ${\displaystyle 2/{V_{d}}^{1/d}}$

delgadez del disco cerrado ≤ delgadez del cuadrado cerrado ⋅ 1,13

Al multiplicar las relaciones anteriores se obtienen las siguientes relaciones simples:

delgadez de dos bolas ≤ delgadez de dos cubos ⋅ √ d

esbeltez de dos cubos ≤ esbeltez de dos bolas ⋅ √ d

Por lo tanto, un objeto R -fat según la definición de dos bolas o de dos cubos es como máximo R √ d -fat según la definición alternativa.

Grasa local

Las definiciones anteriores son todas globales en el sentido de que no se preocupan por las pequeñas áreas delgadas que forman parte de un objeto grande y gordo.

Por ejemplo, considere una piruleta con un caramelo en forma de un cuadrado de 1×1 y un palo en forma de un rectángulo de 1×(1/ b ) (con b >1>(1/ b )). A medida que b aumenta, el área del cubo que lo encierra (=4) y el área del cubo encerrado (=1) permanecen constantes, mientras que el área total de la forma cambia solo ligeramente (=1+1/ b ). Por lo tanto, los tres factores de delgadez están acotados: delgadez del cubo que lo encierra ≤ 2, delgadez del cubo encerrado ≤ 2, delgadez de dos cubos = 2. Por lo tanto, según todas las definiciones, la piruleta es 2-gorda. Sin embargo, la parte del palo de la piruleta obviamente se vuelve cada vez más delgada.

En algunas aplicaciones, estas partes delgadas son inaceptables, por lo que la gordura local , basada en un factor de delgadez local, puede ser más apropiada. Para cada factor de delgadez global, es posible definir una versión local. Por ejemplo, para la delgadez de la bola envolvente, es posible definir el factor de delgadez de la bola envolvente local de un objeto o considerando el conjunto B de todas las bolas cuyo centro está dentro de o y cuyo límite intersecta el límite de o (es decir, que no contiene completamente a o ). El factor de delgadez de la bola envolvente local se define como: ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \sup _{b\in B}\left({\frac {{\text{volume of}}\ B}{{\text{volume of}}\ B\cap o}}\right)^{1/d}}$

El 1/2 es un factor de normalización que hace que la delgadez local de la bola que la envuelve sea igual a 1. La delgadez local de la bola que la envuelve de la forma de piruleta descrita anteriormente está dominada por el palito 1×(1/ b ), y tiende a ∞ a medida que b crece. Por lo tanto, según la definición local, la piruleta anterior no es 2-gorda.

Definiciones globales y locales

La gordura local implica gordura global. A continuación se presenta un esbozo de prueba de la gordura basado en bolas envolventes. Por definición, el volumen de la bola envolvente más pequeña es ≤ el volumen de cualquier otra bola envolvente. En particular, es ≤ el volumen de cualquier bola envolvente cuyo centro esté dentro de o y cuyo límite toque el límite de o . Pero cada una de esas bolas envolventes está en el conjunto B considerado por la definición de delgadez de bola envolvente local. Por lo tanto:

delgadez de la bola envolvente ^d =

= volumen(bola más pequeña que la encierra)/volumen( o )

≤ volumen (bola envolvente b en B )/volumen ( o )

= volumen(bola envolvente b en B )/volumen( b ∩ o )

≤ (2 delgadez de bola envolvente local) ^d

Por eso:

delgadez de la bola envolvente ≤ 2⋅delgadez de la bola envolvente local

Para un cuerpo convexo , lo opuesto también es cierto: la gordura local implica gordura global. La demostración ^[3] se basa en el siguiente lema. Sea o un objeto convexo. Sea P un punto en o . Sean b y B dos bolas centradas en P tales que b es más pequeño que B. Entonces o interseca una porción mayor de b que de B , es decir:

${\displaystyle {\frac {{\text{volume}}\ (b\cap o)}{{\text{volume}}\ (b)}}\geq {\frac {{\text{volume}}\ (B\cap o)}{{\text{volume}}\ (B)}}}$

Esquema de demostración: parados en el punto P , podemos observar diferentes ángulos θ y medir la distancia hasta el límite de o . Como o es convexo, esta distancia es una función, digamos r ( θ ). Podemos calcular el lado izquierdo de la desigualdad integrando la siguiente función (multiplicada por alguna función determinante) sobre todos los ángulos:

${\displaystyle f(\theta )=\min {({\frac {r(\theta )}{{\text{radius}}\ (b)}},1)}}$

De manera similar podemos calcular el lado derecho de la desigualdad integrando la siguiente función:

${\displaystyle F(\theta )=\min {({\frac {r(\theta )}{{\text{radius}}\ (B)}},1)}}$

Comprobando los tres casos posibles, es posible demostrar que siempre . Por lo tanto, la integral de f es al menos la integral de F , y se deduce el lema. ${\displaystyle f(\theta )\geq F(\theta )}$

La definición de delgadez de una bola localmente envolvente considera todas las bolas que están centradas en un punto de o e intersecan el límite de o . Sin embargo, cuando o es convexo, el lema anterior nos permite considerar, para cada punto de o , solo bolas que sean de tamaño máximo, es decir, solo bolas que contengan completamente a o (y cuyo límite interseque el límite de o ). Para cada bola b :

${\displaystyle {\text{volume}}\ (b)\leq C_{d}\cdot {\text{diameter}}\ (o)^{d}}$

donde es una constante dependiente de la dimensión. ${\displaystyle C_{d}}$

El diámetro de o es como máximo el diámetro de la bola más pequeña que encierra a o , y el volumen de esa bola es: . Combinando todas las desigualdades se obtiene que para cada objeto convexo : ${\displaystyle C_{d}\cdot ({\text{diameter(smallest ball enclosing}}\ o)/2)^{d}}$

esbeltez de la bola que encierra localmente ≤ esbeltez de la bola que encierra

Para los objetos no convexos, esta desigualdad, por supuesto, no se cumple, como lo ejemplifica la piruleta de arriba.

Ejemplos

La siguiente tabla muestra el factor de delgadez de varias formas en función de las diferentes definiciones. Las dos columnas de las definiciones locales se rellenan con "*" cuando la forma es convexa (en este caso, el valor de la delgadez local es igual al valor de la delgadez global correspondiente):

Grosor de un triangulo

La delgadez es invariable a escala, por lo que el factor de delgadez de un triángulo (como el de cualquier otro polígono) se puede representar como una función de sus ángulos únicamente. Los tres factores de delgadez basados ​​en bolas se pueden calcular utilizando identidades trigonométricas bien conocidas.

Delgadez de bola cerrada

El círculo más grande contenido en un triángulo se llama su incírculo . Se sabe que:

${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}})}$

donde Δ es el área de un triángulo y r es el radio del círculo inscrito. Por lo tanto, la delgadez de un triángulo en forma de bola cerrada es:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}}}{\pi }}}}$

Delgadez de la bola envolvente

El círculo más pequeño que contiene un triángulo agudo es su circunferencia circunscrita , mientras que para un triángulo obtuso es el círculo que tiene como diámetro el lado más largo del triángulo. ^[5]

Se sabe que:

${\displaystyle \Delta =R^{2}\cdot 2\sin A\sin B\sin C}$

donde nuevamente Δ es el área de un triángulo y R es el radio del círculo circunscrito. Por lo tanto, para un triángulo acutángulo, el factor de delgadez de la bola circundante es:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2\sin A\sin B\sin C}}}}$

También se sabe que:

${\displaystyle \Delta ={\frac {c^{2}}{2(\cot \angle {A}+\cot \angle {B})}}={\frac {c^{2}(\sin \angle {A})(\sin \angle {B})}{2\sin(\angle {A}+\angle {B})}}}$

donde c es cualquier lado del triángulo y A , B son los ángulos adyacentes. Por lo tanto, para un triángulo obtuso con ángulos agudos A y B (y el lado más largo c ), el factor de delgadez de la bola circundante es:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi \cdot (\cot \angle {A}+\cot \angle {B})}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi \cdot \sin(\angle {A}+\angle {B})}{2(\sin \angle {A})(\sin \angle {B})}}}}$

Nótese que en un triángulo rectángulo , , por lo que las dos expresiones coinciden. ${\displaystyle \sin {\angle {C}}=\sin {\angle {A}+\angle {B}}=1}$

Delgadez de dos bolas

El radio interno r y el radio circunscrito R están conectados a través de un par de fórmulas que proporcionan dos expresiones alternativas para la esbeltez de dos bolas de un triángulo agudo: ^[6]

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {1}{4\sin({\frac {\angle {A}}{2}})\sin({\frac {\angle {B}}{2}})\sin({\frac {\angle {C}}{2}})}}={\frac {1}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}+\cos \angle {C}-1}}}$

Para un triángulo obtuso, se debe utilizar c /2 en lugar de R. Por la ley de los senos :

${\displaystyle {\frac {c}{2}}=R\sin {\angle {C}}}$

Por lo tanto, el factor de esbeltez de un triángulo obtuso con ángulo obtuso C es:

${\displaystyle {\frac {c/2}{r}}={\frac {\sin {\angle {C}}}{4\sin({\frac {\angle {A}}{2}})\sin({\frac {\angle {B}}{2}})\sin({\frac {\angle {C}}{2}})}}={\frac {\sin {\angle {C}}}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}+\cos \angle {C}-1}}}$

Nótese que en un triángulo rectángulo , , por lo que las dos expresiones coinciden. ${\displaystyle \sin {\angle {C}}=1}$

Las dos expresiones se pueden combinar de la siguiente manera para obtener una única expresión para la delgadez de dos bolas de cualquier triángulo con ángulos A y B menores :

${\displaystyle {\frac {\sin {\max(\angle {A},\angle {B},\angle {C},\pi /2)}}{4\sin({\frac {\angle {A}}{2}})\sin({\frac {\angle {B}}{2}})\sin({\frac {\pi -\angle {A}-\angle {B}}{2}})}}={\frac {\sin {\max(\angle {A},\angle {B},\angle {C},\pi /2)}}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}-\cos(\angle {A}+\angle {B})-1}}}$

Para tener una idea de la tasa de cambio en la obesidad, considere lo que da esta fórmula para un triángulo isósceles con un ángulo de cabeza θ cuando θ es pequeño :

${\displaystyle {\frac {\sin {\max(\theta ,\pi /2)}}{4\sin ^{2}({\frac {\pi -\theta }{4}})\sin({\frac {\theta }{2}})}}\approx {\frac {1}{4{\sqrt {1/2}}^{2}\theta /2}}={\frac {1}{\theta }}}$

Los siguientes gráficos muestran el factor de delgadez de 2 bolas de un triángulo:

• Delgadez de un triángulo general cuando un ángulo (a) es un parámetro constante mientras que el otro ángulo (x) cambia.
• Delgadez de un triángulo isósceles en función del ángulo de su cabeza (x).

Grosor de círculos, elipses y sus partes

La delgadez de un círculo basada en la bola es, por supuesto, 1: el valor más pequeño posible.

Para un segmento circular con ángulo central θ , el diámetro del círculo circunscrito es la longitud de la cuerda y el diámetro del círculo inscrito es la altura del segmento, por lo que la delgadez de dos bolas (y su aproximación cuando θ es pequeño ) es:

${\displaystyle {\frac {\text{length of chord}}{\text{height of segment}}}={\frac {2R\sin {\frac {\theta }{2}}}{R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}={\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}}{\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {\theta }{\theta ^{2}/8}}={\frac {8}{\theta }}}$

Para un sector circular con ángulo central θ (cuando θ es pequeño), el diámetro del círculo circunscrito es el radio del círculo y el diámetro del círculo inscrito es la longitud de la cuerda, por lo que la delgadez de dos bolas es:

${\displaystyle {\frac {\text{radius of circle}}{\text{length of chord}}}={\frac {R}{2R\sin {\frac {\theta }{2}}}}={\frac {1}{2\sin {\frac {\theta }{2}}}}\approx {\frac {1}{2\theta /2}}={\frac {1}{\theta }}}$

En el caso de una elipse , los factores de delgadez son diferentes en distintas ubicaciones. Por ejemplo, considere una elipse con eje corto a y eje largo b . La longitud de una cuerda varía entre en el lado angosto de la elipse y en su lado ancho; de manera similar, la altura del segmento varía entre en el lado angosto y en su lado ancho. Por lo tanto, la delgadez de dos bolas varía entre: ${\displaystyle 2a\sin {\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle 2b\sin {\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle b\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$ ${\displaystyle a\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {2a\sin {\frac {\theta }{2}}}{b\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {8a}{b\theta }}}$

y:

${\displaystyle {\frac {2b\sin {\frac {\theta }{2}}}{a\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {8b}{a\theta }}}$

En general, cuando la secante comienza en el ángulo Θ el factor de delgadez se puede aproximar mediante: ^[7]

${\displaystyle {\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}}{\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\cos ^{2}(\Theta +{\frac {\theta }{2}})+{\frac {a}{b}}\sin ^{2}(\Theta +{\frac {\theta }{2}})\right)}$

Grosor de un polígono convexo

Un polígono convexo se llama r -separado si el ángulo entre cada par de bordes (no necesariamente adyacentes) es al menos r .

Lema: La delgadez de la bola circundante de un polígono convexo separado por r es como máximo . ^{[8] : 7–8} ${\displaystyle O(1/r)}$

Un polígono convexo se llama k,r -separado si:

1. No tiene bordes paralelos, excepto quizás dos horizontales y dos verticales.
2. Cada borde no paralelo al eje forma un ángulo de al menos r con cualquier otro borde y con los ejes x e y.
3. Si hay dos bordes horizontales, entonces el diámetro/altura es como máximo k .
4. Si hay dos bordes verticales, entonces el diámetro/ancho es como máximo k .

Lema: La delgadez de la bola circundante de un polígono convexo separado por k,r es como máximo . ^[9] mejora el límite superior a . ${\displaystyle O(\max(k,1/r))}$ ${\displaystyle O(d)}$

Contando objetos gordos

Si un objeto o tiene un diámetro de 2 a , entonces cada bola que encierra a o debe tener un radio de al menos a y un volumen de al menos V _d a ^d . Por lo tanto, por definición de la gordura de la bola que lo encierra, el volumen de un objeto R -gordo con un diámetro de 2 a debe ser al menos: V _d a ^d / R ^d . Por lo tanto:

Lema 1 : Sean R ≥1 y C≥0 dos constantes. Considérese una colección de objetos d- dimensionales no superpuestos que son todos globalmente R -gordos (es decir, con delgadez de bola envolvente ≤ R ). El número de tales objetos de diámetro al menos 2 a , contenidos en una bola de radio C⋅a , es como máximo:

${\displaystyle V_{d}\cdot (Ca)^{d}/(V_{d}\cdot a^{d}/R^{d})=(RC)^{d}}$

Por ejemplo (tomando d = 2, R = 1 y C = 3): el número de discos no superpuestos con un radio de al menos 1 contenidos en un círculo de radio 3 es como máximo 3 ² = 9. (En realidad, es como máximo 7).

Si consideramos la gordura local en lugar de la gordura global, podemos obtener un lema más fuerte: ^[3]

Lema 2 : Sean R ≥1 y C ≥0 dos constantes. Considérese una colección de objetos d- dimensionales no superpuestos que son todos localmente R -gordos (es decir, con delgadez local de la bola envolvente ≤ R ). Sea o un único objeto en esa colección con diámetro 2 a . Entonces, el número de objetos en la colección con diámetro mayor que 2 a que se encuentran dentro de la distancia 2C⋅a del objeto o es como máximo:

${\displaystyle (4R\cdot (C+1))^{d}}$

Por ejemplo (tomando d = 2, R = 1 y C = 0): el número de discos no superpuestos con un radio mayor que 1 que tocan un disco unitario dado es como máximo 4 ² = 16 (este no es un límite estricto ya que en este caso es fácil demostrar un límite superior de 5).

Generalizaciones

La siguiente generalización de la gordura fue estudiada por ^[2] para objetos bidimensionales.

Un triángulo ∆ es un (β, δ)-triángulo de un objeto plano o (0<β≤π/3, 0<δ< 1), si ∆ ⊆ o , cada uno de los ángulos de ∆ es al menos β, y la longitud de cada una de sus aristas es al menos δ·diámetro( o ). Un objeto o en el plano está (β,δ)-cubierto si para cada punto P ∈ o existe un (β, δ)-triángulo ∆ de o que contiene a P.

Para los objetos convexos , las dos definiciones son equivalentes, en el sentido de que si o es α-gordo, para alguna constante α, entonces también está (β,δ)-cubierto, para constantes apropiadas β y δ, y viceversa. Sin embargo, para los objetos no convexos la definición de ser gordo es más general que la definición de estar (β, δ)-cubierto. ^[2]

Aplicaciones

Los objetos gordos se utilizan en diversos problemas, por ejemplo:

• Planificación del movimiento : planificar una ruta para un robot que se mueve entre obstáculos se vuelve más fácil cuando los obstáculos son objetos gruesos. ^[3]
• Reparto justo de la torta : la división de una torta se hace más difícil cuando los trozos deben ser objetos gruesos. Este requisito es común, por ejemplo, cuando la "torta" a dividir es una finca. ^[10]
• Se pueden encontrar más aplicaciones en las referencias siguientes.

Referencias

1. Katz, MJ (1997). "Disparos de rayos verticales en 3D y encerramiento de puntos en 2D, búsqueda de rangos y disparos de arco entre objetos gruesos convexos" (PDF) . Geometría computacional . 8 (6): 299–316. doi :10.1016/s0925-7721(96)00027-2. S2CID  122806176., Agarwal, PK; Katz, MJ; Sharir, M. (1995). "Cálculo de órdenes de profundidad para objetos gordos y problemas relacionados". Geometría Computacional . 5 (4): 187. doi : 10.1016/0925-7721(95)00005-8 .
2. Efrat, A.; Katz, MJ; Nielsen, F.; Sharir, M. (2000). "Estructuras de datos dinámicas para objetos fat y sus aplicaciones". Geometría Computacional . 15 (4): 215. doi : 10.1016/s0925-7721(99)00059-0 .
3. Van Der Stappen, AF; Halperin, D.; Overmars, MH (1993). "La complejidad del espacio libre para un robot que se mueve entre obstáculos gordos". Geometría Computacional . 3 (6): 353. doi :10.1016/0925-7721(93)90007-s. hdl : 1874/16650 .
4. Berg, M.; Groot, M.; Overmars, M. (1994). "Nuevos resultados sobre particiones binarias del espacio en el plano (resumen ampliado)". Algorithm Theory — SWAT '94 . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 824. p. 61. doi :10.1007/3-540-58218-5_6. ISBN 978-3-540-58218-2., Van Der Stappen, AF; Overmars, MH (1994). "Planificación del movimiento entre obstáculos de grasa (resumen ampliado)". Actas del décimo simposio anual sobre geometría computacional - SCG '94 . p. 31. doi :10.1145/177424.177453. ISBN 978-0897916486.S2CID 152761  ., Overmars, MH (1992). "Ubicación de puntos en subdivisiones de grasa". Information Processing Letters (manuscrito enviado). 44 (5): 261–265. doi :10.1016/0020-0190(92)90211-d. hdl : 1874/17965 ., Overmars, MH; Van Der Stappen, FA (1996). "Búsqueda de rango y localización de puntos entre objetos gordos". Journal of Algorithms . 21 (3): 629. doi :10.1006/jagm.1996.0063. hdl : 1874/17327 .
5. Rajan, VT (1994). "Optimalidad de la triangulación de Delaunay en R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}". Geometría discreta y computacional . 12 (2): 189–202. doi : 10.1007/BF02574375 . MR  1283887.
6. Weisstein, Eric W. "Inradius". MathWorld . Consultado el 28 de septiembre de 2014 .
7. Ver gráfico en: https://www.desmos.com/calculator/fhfqju02sn
8. Mark de Berg; Onak, Krzysztof; Sidiropoulos, Anastasios (2010). "Particiones poligonales gruesas con aplicaciones para visualización e incrustaciones". Journal of Computational Geometry . 4 . arXiv : 1009.1866 . doi :10.20382/jocg.v4i1a9. S2CID  15245776.
9. De Berg, Mark; Speckmann, Bettina ; Van Der Weele, Vincent (2014). "Mapas de árboles con relación de aspecto limitada". Geometría computacional . 47 (6): 683. arXiv : 1012.1749 . doi :10.1016/j.comgeo.2013.12.008. S2CID  12973376.Versión de conferencia: Mapas de árboles convexos con relación de aspecto limitada (PDF) . EuroCG. 2011.
10. Segal-Halevi, Erel; Nitzan, Shmuel; Hassidim, Avinatan; Aumann, Yonatan (2017). "Justo y equitativo: corte de pastel en dos dimensiones". Revista de Economía Matemática . 70 : 1–28. arXiv : 1409.4511 . doi :10.1016/j.jmateco.2017.01.007. S2CID  1278209.