Álgebra separable

En matemáticas , un álgebra separable es un tipo de álgebra semisimple . Es una generalización a las álgebras asociativas de la noción de extensión de cuerpo separable .

Definición y primeras propiedades

Un homomorfismo de anillos (unitales, pero no necesariamente conmutativos )

${\displaystyle K\to A}$

se llama separable si el mapa de multiplicación

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}\mu :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}}$

admite una sección

${\displaystyle \sigma :A\to A\otimes _{K}A}$

Esto es un homomorfismo de bimódulos A - A - .

Si el anillo es conmutativo y se asigna al centro de , llamamos álgebra separable sobre . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\to A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

Es útil describir la separabilidad en términos del elemento

${\displaystyle p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A}$

La razón es que una sección σ está determinada por este elemento. La condición de que σ sea una sección de μ es equivalente a

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

y la condición de que σ sea un homomorfismo de A - A -bimódulos es equivalente al siguiente requisito para cualquier a en A :

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

Un elemento de este tipo p se llama idempotente de separabilidad , ya que considerado como un elemento del álgebra, satisface . ${\displaystyle A\otimes A^{\rm {op}}}$ ${\displaystyle p^{2}=p}$

Ejemplos

Para cualquier anillo conmutativo R , el anillo ( no conmutativo ) de matrices n por n es un R -álgebra separable . Para cualquier , un idempotente de separabilidad está dado por , donde denota la matriz elemental que es 0 excepto por la entrada en la entrada ( i , j ) , que es 1. En particular, esto muestra que los idempotentes de separabilidad no necesitan ser únicos. ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$

Álgebras separables sobre un cuerpo

Una extensión de campo L / K de grado finito es una extensión separable si y solo si L es separable como un K -álgebra asociativa. Si L / K tiene un elemento primitivo con polinomio irreducible , entonces un idempotente de separabilidad está dado por . Los tensorandos son bases duales para el mapa de trazas: si son los K -monomorfismos distintos de L en una clausura algebraica de K , la aplicación de trazas Tr de L en K está definida por . El mapa de trazas y sus bases duales hacen que L sea explícita como un álgebra de Frobenius sobre K . ${\displaystyle a}$ ${\textstyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ ${\textstyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$

De manera más general, las álgebras separables sobre un cuerpo K se pueden clasificar de la siguiente manera: son lo mismo que los productos finitos de álgebras matriciales sobre álgebras de división de dimensión finita cuyos centros son extensiones de campo separables de dimensión finita del cuerpo K . En particular: Toda álgebra separable es en sí misma de dimensión finita. Si K es un cuerpo perfecto –por ejemplo, un cuerpo de característica cero, o un cuerpo finito , o un cuerpo algebraicamente cerrado– entonces toda extensión de K es separable, de modo que las K -álgebras separables son productos finitos de álgebras matriciales sobre álgebras de división de dimensión finita sobre el cuerpo K . En otras palabras, si K es un cuerpo perfecto, no hay diferencia entre un álgebra separable sobre K y un álgebra semisimple de dimensión finita sobre K . Se puede demostrar mediante un teorema generalizado de Maschke que una K -álgebra asociativa A es separable si para cada extensión de cuerpo el álgebra es semisimple. ${\textstyle L/K}$ ${\textstyle A\otimes _{K}L}$

Anillos de grupo

Si K es un anillo conmutativo y G es un grupo finito tal que el orden de G es invertible en K , entonces el álgebra de grupo K [ G ] es un K -álgebra separable . ^[1] Un idempotente de separabilidad está dado por . ${\textstyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$

Caracterizaciones equivalentes de separabilidad

Existen varias definiciones equivalentes de álgebras separables. Una K -álgebra A es separable si y solo si es proyectiva cuando se la considera como un módulo izquierdo de de la forma habitual. ^[2] Además, un álgebra A es separable si y solo si es plana cuando se la considera como un módulo derecho de de la forma habitual. ${\displaystyle A^{e}}$ ${\displaystyle A^{e}}$

Las álgebras separables también pueden caracterizarse por medio de extensiones de división: A es separable sobre K si y solo si todas las secuencias cortas exactas de A - A -bimódulos que se dividen como A - K -bimódulos también se dividen como A - A -bimódulos. De hecho, esta condición es necesaria ya que la aplicación de multiplicación que surge en la definición anterior es un epimorfismo de A - A -bimódulo, que se divide como una aplicación de A - K -bimódulo por la aplicación inversa derecha dada por . La inversa puede demostrarse mediante un uso juicioso del idempotente de separabilidad (de manera similar a la prueba del teorema de Maschke , aplicando sus componentes dentro y fuera de las aplicaciones de división). ^[3] ${\textstyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ ${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$

De manera equivalente, los grupos de cohomología de Hochschild relativos de ( R , S ) en cualquier bimódulo de coeficientes M son cero para n > 0 . Hay muchos ejemplos de extensiones separables, incluidas las primeras álgebras separables donde R es un álgebra separable y S = 1 multiplicado por el cuerpo fundamental. Cualquier anillo R con elementos a y b que satisfacen ab = 1 , pero ba diferente de 1, es una extensión separable sobre el subanillo S generado por 1 y bRa . ${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$

Relación con las álgebras de Frobenius

Se dice que un álgebra separable es fuertemente separable si existe un idempotente de separabilidad que es simétrico , es decir

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}}$

Un álgebra es fuertemente separable si y sólo si su forma traza no es degenerada, lo que convierte al álgebra en un tipo particular de álgebra de Frobenius llamada álgebra simétrica (que no debe confundirse con el álgebra simétrica que surge como cociente del álgebra tensorial ).

Si K es conmutativo, A es un módulo K separable proyectivo finitamente generado , entonces A es un álgebra de Frobenius simétrica. ^[4]

Relación con extensiones formalmente no ramificadas y formalmente étale

Cualquier extensión separable A / K de anillos conmutativos es formalmente no ramificada . El recíproco se cumple si A es una K -álgebra finitamente generada . ^[5] Una K -álgebra plana (conmutativa) separable A es formalmente étale . ^[6]

Resultados adicionales

Un teorema en el área es el de J. Cuadra que dice que una extensión separable de Hopf–Galois R | S tiene un S -módulo natural finitamente generado R . Un hecho fundamental acerca de una extensión separable R | S es que es una extensión semisimple izquierda o derecha: una secuencia corta exacta de R -módulos izquierdos o derechos que se divide en S -módulos , se divide en R -módulos . En términos del álgebra homológica relativa de G. Hochschild, se dice que todos los R -módulos son ( R , S ) -proyectivos relativos. Usualmente las propiedades relativas de los subanillos o extensiones de anillo, tales como la noción de extensión separable, sirven para promover teoremas que dicen que el subanillo comparte una propiedad del subanillo. Por ejemplo, una extensión separable R de un álgebra semisimple S tiene R semisimple, lo cual se desprende de la discusión precedente.

Existe el célebre teorema de Jans según el cual un álgebra de grupos finitos A sobre un cuerpo de característica p es de tipo de representación finito si y solo si su p -subgrupo de Sylow es cíclico : la prueba más clara es notar este hecho para p -grupos, luego notar que el álgebra de grupos es una extensión separable de su p -subgrupo de Sylow B ya que el índice es coprimo con la característica. La condición de separabilidad anterior implicará que cada A -módulo M finitamente generado es isomorfo a un sumando directo en su módulo inducido restringido. Pero si B tiene tipo de representación finito, el módulo restringido es únicamente una suma directa de múltiplos de un número finito de indecomponibles , que inducen a un número finito de módulos indecomponibles constituyentes de los cuales M es una suma directa. Por lo tanto, A es de tipo de representación finito si B lo es. Lo inverso se prueba con un argumento similar notando que cada álgebra de subgrupos B es un B -bimódulo sumando directo de un álgebra de grupos A.

Citas

1. Ford 2017, §4.2
2. Reiner 2003, pág. 102
3. Ford 2017, Teorema 4.4.1
4. Endo y Watanabe 1967, Teorema 4.2. Si A es conmutativa, la prueba es más sencilla, véase Kadison 1999, Lema 5.11.
5. Ford 2017, Corolario 4.7.2, Teorema 8.3.6
6. Ford 2017, Corolario 4.7.3

Referencias

• DeMeyer, F.; Ingraham, E. (1971). Álgebras separables sobre anillos conmutativos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 181. Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2.Zbl 0215.36602  .
• Samuel Eilenberg y Tadasi Nakayama, Sobre la dimensión de módulos y álgebras. II. Álgebras de Frobenius y anillos cuasi-Frobenius, Nagoya Math. J. Volumen 9 (1955), 1–16.
• Endo, Shizuo; Watanabe, Yutaka (1967), "Sobre álgebras separables sobre un anillo conmutativo", Osaka Journal of Mathematics , 4 : 233–242, MR  0227211
• Ford, Timothy J. (2017), Álgebras separables , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, Sr.  3618889
• Hirata, H.; Sugano, K. (1966), "Sobre extensiones semisimples y separables de anillos no conmutativos", J. Math. Soc. Jpn. , 18 : 360–373
• Kadison, Lars (1999), Nuevos ejemplos de extensiones de Frobenius , University Lecture Series, vol. 14, Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/ulect/014, ISBN 0-8218-1962-3, Sr.  1690111
• Reiner, I. (2003), Maximal Orders , Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 28, Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl1024.16008 ​
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.