Anillo semilocal

Clasificación de anillos algebraicos

En matemáticas , un anillo semilocal es un anillo para el cual R /J( R ) es un anillo semisimple , donde J( R ) es el radical de Jacobson de R . (Lam 2001, p. §20) (Mikhalev & Pilz 2002, p. C.7)

La definición anterior se cumple si R tiene un número finito de ideales máximos por la derecha (y un número finito de ideales máximos por la izquierda). Cuando R es un anillo conmutativo , la implicación inversa también es cierta, y por eso la definición de semilocal para anillos conmutativos se suele tomar como "que tiene un número finito de ideales máximos ".

En cierta literatura, se hace referencia a un anillo semilocal conmutativo en general como un anillo cuasi-semi-local , y se utiliza el término anillo semi-local para referirse a un anillo noetheriano con un número finito de ideales máximos.

Por lo tanto, un anillo semilocal es más general que un anillo local , que solo tiene un ideal máximo (derecho/izquierdo/bilateral).

Ejemplos

• Cualquier anillo artiniano derecho o izquierdo , cualquier anillo serial y cualquier anillo semiperfecto es semilocal.
• El cociente es un anillo semilocal. En particular, si es una potencia prima, entonces es un anillo local. ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
• Una suma directa finita de campos es un anillo semilocal. ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}}$
• En el caso de anillos conmutativos con unidad, este ejemplo es prototípico en el siguiente sentido: el teorema del resto chino muestra que para un anillo conmutativo semilocal R con unidad e ideales máximos m ₁ , ..., m _n

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$.

(El mapa es la proyección natural). El lado derecho es una suma directa de campos. Aquí notamos que ∩ _i m _i =J( R ), y vemos que R /J( R ) es de hecho un anillo semisimple.

• El anillo clásico de cocientes para cualquier anillo noetheriano conmutativo es un anillo semilocal.
• El anillo de endomorfismo de un módulo artiniano es un anillo semilocal.
• Los anillos semilocales ocurren, por ejemplo, en geometría algebraica cuando un anillo (conmutativo) R está localizado con respecto al subconjunto multiplicativamente cerrado S = ∩ (R \ p _i ) , donde los p _i son un número finito de ideales primos .

Libros de texto

• Lam, TY (2001), "7", Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, Sr.  1838439
• Mikhalev, Alejandro V.; Pilz, Günter F., eds. (2002), El manual conciso de álgebra , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. xvi+618, ISBN 0-7923-7072-4, Sr.  1966155