Grupo de bebés monstruos

Grupo simple esporádico

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de bebés monstruos B (o, más simplemente, el bebé monstruo ) es un grupo simple esporádico de orden

   4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000

= 2 ⁴¹  · 3 ¹³  · 5 ⁶  · 7 ²  · 11  · 13  · 17  · 19  · 23  · 31  · 47

≈ 4 × 10³³ .

B es uno de los 26 grupos esporádicos y tiene el segundo orden más alto de ellos, siendo el orden más alto el del grupo monstruo . La doble cobertura del bebé monstruo es el centralizador de un elemento de orden 2 en el grupo monstruo. El grupo de automorfismos externos de B es trivial y el multiplicador de Schur de B tiene orden 2.

Historia

La existencia de este grupo fue sugerida por Bernd Fischer en un trabajo inédito de principios de los años 1970 durante su investigación de los grupos de transposición {3,4}: grupos generados por una clase de transposiciones tales que el producto de dos elementos cualesquiera tiene orden como máximo 4. Investigó sus propiedades y calculó su tabla de caracteres . La primera construcción del monstruo bebé fue realizada más tarde como un grupo de permutación en 13.571.955.000 puntos utilizando una computadora por Jeffrey Leon y Charles Sims . ^{[1] [2]} Robert Griess encontró más tarde una construcción sin computadora utilizando el hecho de que su doble cubierta está contenida en el grupo del monstruo. El nombre "monstruo bebé" fue sugerido por John Horton Conway . ^[3]

Representaciones

En la característica 0, la representación de 4371 dimensiones del bebé monstruo no tiene una estructura algebraica invariante no trivial análoga al álgebra de Griess , pero Ryba (2007) demostró que sí tiene dicha estructura algebraica invariante si se reduce módulo 2.

La representación matricial fiel más pequeña del Bebé Monstruo es de tamaño 4370 sobre el campo finito de orden 2.

Höhn (1996) construyó un álgebra de operadores de vértices sobre los que actúa el bebé monstruo.

Alcoholismo monstruoso generalizado

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para el monstruo bebé B o F ₂ , la serie de McKay-Thompson relevante es donde se puede establecer el término constante a(0) = 104 . ^[4] ${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{2A}(\tau )&=T_{2A}(\tau )+104\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}[phone]q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

Subgrupos máximos

Wilson (1999) encontró las 30 clases de conjugación de subgrupos máximos de B que se enumeran en la siguiente tabla.

Referencias

1. (Gorenstein 1993)
2. Leon, Jeffrey S.; Sims, Charles C. (1977). "La existencia y unicidad de un grupo simple generado por transposiciones {3,4}". Bull. Amer. Math. Soc . 83 (5): 1039–1040. doi : 10.1090/s0002-9904-1977-14369-3 .
3. Ronan, Mark (2006). Simetría y el monstruo . Oxford University Press . Págs. 178-179. ISBN. 0-19-280722-6.
4. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A007267". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

• Gorenstein, D. (1993), "Una breve historia de los grupos simples esporádicos", en Corwin, L.; Gelfand, IM; Lepowsky, James (eds.), The Gelʹfand Mathematical Seminars, 1990–1992 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 137–143, ISBN 978-0-8176-3689-0, Sr.  1247286
• Höhn, Gerald (1996), Selbstduale Vertexoperatorsuperalgebren und das Babymonster , Bonner Mathematische Schriften [Publicaciones matemáticas de Bonn], 286, Bonn: Universität Bonn Mathematisches Institut, arXiv : 0706.0236 , Bibcode : 2007arXiv0706.0236H, MR  161494 1
• Ryba, Alexander JE (2007), "Un álgebra invariante natural para el grupo Baby Monster", Journal of Group Theory , 10 (1): 55–69, doi :10.1515/JGT.2007.006, MR  2288459, S2CID  122359097
• Wilson, Robert A. (1999), "Los subgrupos máximos del Bebé Monstruo. I", Journal of Algebra , 211 (1): 1–14, doi : 10.1006/jabr.1998.7601 , MR  1656568

Enlaces externos

• MathWorld: Grupo de bebés monstruos
• Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo de los monstruos bebés