función acotada

Una función matemática cuyo conjunto de valores está acotado.

Una ilustración esquemática de una función acotada (rojo) y una ilimitada (azul). Intuitivamente, la gráfica de una función acotada permanece dentro de una banda horizontal, mientras que la gráfica de una función ilimitada no.

En matemáticas , una función definida sobre algún conjunto con valores reales o complejos se llama acotada si el conjunto de sus valores está acotado . En otras palabras, existe un número real tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

para todos dentro . ^[1] Una función que no está acotada se dice que es ilimitada . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Si tiene un valor real y para todo en , entonces se dice que la función está limitada (desde) arriba por . Si es todo en , entonces se dice que la función está limitada (desde) debajo por . Una función de valor real está acotada si y sólo si está acotada por arriba y por abajo. ^{[1] [ se necesitan citas adicionales ]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)\geq B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

Un caso especial importante es una secuencia acotada , donde se considera el conjunto de números naturales . Por tanto, una secuencia es acotada si existe un número real tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

para cada número natural . El conjunto de todas las secuencias acotadas forma el espacio de secuencias . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l^{\infty }}$

La definición de acotación se puede generalizar a funciones que toman valores en un espacio más general al requerir que la imagen sea un conjunto acotado . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Nociones relacionadas

Más débil que la limitación es la limitación local . Una familia de funciones acotadas puede estar uniformemente acotada .

Un operador acotado no es una función acotada en el sentido de la definición de esta página (a menos que ), pero tiene la propiedad más débil de preservar la acotación ; los conjuntos acotados se asignan a conjuntos acotados . Esta definición se puede extender a cualquier función si y permite el concepto de conjunto acotado. La acotación también se puede determinar mirando un gráfico. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

• La función seno está acotada desde entonces para todos . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
• La función , definida para todos los reales excepto −1 y 1, es ilimitada. A medida que se acerca a −1 o 1, los valores de esta función aumentan en magnitud. Esta función puede hacerse acotada si se restringe su dominio para que sea, por ejemplo, o . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,-2]}$
• La función , definida para todo real , está acotada, ya que para todo . ^{[ cita necesaria ]} ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ ${\displaystyle x}$
• La función trigonométrica inversa arcotangente definida como: o es creciente para todos los números reales y está acotada por radianes ^[3] ${\displaystyle y=\arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\tan(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
• Según el teorema de la acotación , toda función continua en un intervalo cerrado, como por ejemplo , está acotada. ^[4] De manera más general, cualquier función continua desde un espacio compacto a un espacio métrico está acotada. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$
• Todas las funciones de valores complejos que son enteras son ilimitadas o constantes como consecuencia del teorema de Liouville . ^[5] En particular, el complejo debe ser ilimitado ya que es completo. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sin :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$
• La función que toma el valor 0 para el número racional y 1 para el número irracional (cf. función de Dirichlet ) está acotada. Por lo tanto, una función no necesita ser "agradable" para estar acotada. El conjunto de todas las funciones acotadas definidas en es mucho mayor que el conjunto de funciones continuas en ese intervalo. ^{[ cita necesaria ]} Además, las funciones continuas no necesitan estar limitadas; por ejemplo, las funciones y definidas por y son continuas, pero ninguna está acotada. ^[6] (Sin embargo, una función continua debe estar acotada si su dominio es cerrado y acotado. ^[6] ) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x,y):=x+y}$ ${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$

Ver también

• conjunto acotado
• Soporte compacto
• Limitación local
• Limitación uniforme

Referencias

1. Jeffrey, Alan (13 de junio de 1996). Matemáticas para ingenieros y científicos, 5ª edición. Prensa CRC. ISBN 978-0-412-62150-5.
2. "Las funciones seno y coseno" (PDF) . math.dartmouth.edu . Archivado (PDF) desde el original el 2 de febrero de 2013 . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
3. Polianina, Andrei D.; Chernoutsan, Alexei (18 de octubre de 2010). Un manual conciso de matemáticas, física y ciencias de la ingeniería. Prensa CRC. ISBN 978-1-4398-0640-1.
4. Weisstein, Eric W. "Teorema del valor extremo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
5. "Teoremas de Liouville - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
6. Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (20 de marzo de 2010). Un curso de cálculo y análisis multivariable. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 56.ISBN​ 978-1-4419-1621-1.