Secuencia de elección

En las matemáticas intuicionistas , una secuencia de elección es una formulación constructiva de una secuencia . Dado que la escuela intuicionista de matemáticas, tal como la formuló LEJ Brouwer , rechaza la idea de un infinito completo , para utilizar una secuencia (que es, en matemáticas clásicas, un objeto infinito), debemos tener una formulación de un objeto finito y construible que pueda cumplir el mismo propósito que una secuencia. Por lo tanto, Brouwer formuló la secuencia de elección, que se da como una construcción, en lugar de un objeto abstracto e infinito. ^[1]

Secuencias con leyes y sin leyes

Se hace una distinción entre secuencias sin ley y secuencias con ley . ^[2] Una secuencia con ley es una que se puede describir completamente: es una construcción completa, que se puede describir por completo. Por ejemplo, los números naturales se pueden considerar como una secuencia con ley: la secuencia se puede describir de manera completamente constructiva mediante el elemento único 0 y una función sucesora . Dada esta formulación, sabemos que el elemento n en la secuencia de números naturales será el número . De manera similar, una función que mapea de los números naturales a los números naturales determina efectivamente el valor de cualquier argumento que tome y, por lo tanto, describe una secuencia con ley. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i-1}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} }$

Por otra parte, una secuencia sin ley (también, libre ) es una secuencia que no está predeterminada. Debe considerarse como un procedimiento para generar valores para los argumentos 0, 1, 2, .... Es decir, una secuencia sin ley es un procedimiento para generar , , ... (los elementos de la secuencia ) tales que: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$

• En cualquier momento dado de la construcción de la secuencia , sólo se conoce un segmento inicial de la secuencia y no se imponen restricciones sobre los valores futuros de ; y ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$
• Se puede especificar, de antemano, un segmento inicial de . ${\displaystyle \langle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$

Nótese que el primer punto anterior es ligeramente engañoso, ya que podemos especificar, por ejemplo, que los valores de una secuencia se extraigan exclusivamente del conjunto de números naturales; podemos especificar, a priori , el rango de la secuencia.

El ejemplo canónico de una secuencia sin ley es la serie de lanzamientos de un dado . Especificamos qué dado utilizar y, opcionalmente, especificamos de antemano los valores de los primeros lanzamientos (para ). Además, restringimos los valores de la secuencia para que estén en el conjunto . Esta especificación comprende el procedimiento para generar la secuencia sin ley en cuestión. En ningún momento, entonces, se conoce ningún valor futuro particular de la secuencia. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$

Axiomatización

Hay dos axiomas en particular que esperamos que se cumplan en las secuencias de elección como las descritas anteriormente. Denotemos la relación "la secuencia comienza con la secuencia inicial " para la secuencia de elección y el segmento finito (más específicamente, probablemente será un entero que codifique una secuencia inicial finita). ${\displaystyle \alpha \in n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Esperamos que lo siguiente, llamado el axioma de datos abiertos , se cumpla para todas las secuencias sin ley: donde es un predicado de un lugar . La justificación intuitiva para este axioma es la siguiente: en matemáticas intuicionistas, la verificación de que se cumple de la secuencia se da como un procedimiento ; en cualquier punto de ejecución de este procedimiento, habremos examinado solo un segmento inicial finito de la secuencia. Intuitivamente, entonces, este axioma establece que, dado que, en cualquier punto de verificación de que se cumple de , solo habremos verificado que se cumple para una secuencia inicial finita de ; por lo tanto, debe ser el caso de que también se cumpla para cualquier secuencia sin ley que comparta esta secuencia inicial. Esto es así porque, en cualquier punto en el procedimiento de verificación de , para cualquier persona que comparta el prefijo inicial de codificado por que ya hemos examinado, si ejecutamos el procedimiento idéntico en , obtendremos el mismo resultado. El axioma se puede generalizar para cualquier predicado que tome un número arbitrario de argumentos. $${\displaystyle A(\alpha )\rightarrow \exists n[\alpha \in n\,\land \,\forall \beta \in n[A(\beta )]]}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A(\alpha )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta }$

Se requiere otro axioma para las secuencias sin ley. El axioma de densidad , dado por: establece que, para cualquier prefijo finito (codificado por) , existe alguna secuencia que comienza con ese prefijo. Requerimos este axioma para no tener ningún "agujero" en el conjunto de secuencias de elección. Este axioma es la razón por la que requerimos que se puedan especificar de antemano secuencias iniciales finitas arbitrariamente largas de secuencias de elección sin ley; sin este requisito, el axioma de densidad no está necesariamente garantizado. $${\displaystyle \forall n\,\exists \alpha [\alpha \in n]}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$

Véase también

• Constructivismo (filosofía de las matemáticas)  : punto de vista matemático según el cual las pruebas de existencia deben ser constructivas.

Notas

1. Troelstra 1982.
2. Linnebo y Shapiro 2020, pag. 3.

Referencias

• Dummett, Michael (1977). Elementos del intuicionismo . Oxford University Press.

• Fourman, Michael P. (1982). "Nociones de secuencia de elección" (PDF) . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas . 110 : 91–105. doi :10.1016/S0049-237X(09)70125-9. ISBN 9780444864949.

• Jacquette, Dale (2002). Un compañero para la lógica filosófica . Blackwell Publishing. pág. 517. ISBN 9780631216711.

• Kreisel, Georg (1958). "Una observación sobre las secuencias de libre elección y las pruebas de completitud topológica". Journal of Symbolic Logic . 23 (4): 369–388. doi :10.2307/2964012. JSTOR  2964012.

• Linnebo, Øystein ; Shapiro, Stewart (23 de septiembre de 2020). "Secuencias de elección: un análisis modal y clásico" (PDF) . Universidad de Oslo y Universidad Estatal de Ohio . Consultado el 14 de abril de 2022 .

• Troelstra, Anne Sjerp (1977). Sucesiones de elección. Un capítulo de matemáticas intuicionistas . Clarendon Press.

• Troelstra, Anne Sjerp (1982). "Sobre el origen y desarrollo del concepto de secuencia de elección de Brouwer". Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas . 110 : 465–486. doi :10.1016/S0049-237X(09)70145-4. ISBN 9780444864949.

• Troelstra, Anne Sjerp (1983). "Análisis de secuencias de elección". Revista de lógica filosófica . 12 (2): 197–260. doi :10.1007/BF00247189. S2CID  26373820.

• Troelstra, Anne Sjerp ; Van Dalen, Dirk (1988a). Constructivismo en matemáticas: introducción, volumen 1 . Ciencia Elsevier. ISBN 9780444702661.

• Troelstra, Anne Sjerp ; Van Dalen, Dirk (1988b). Constructivismo en matemáticas: introducción, volumen 2 . Ciencia Elsevier. ISBN 9780444703583.