Variedad secante

En geometría algebraica, la variedad secante , o la variedad de cuerdas , de una variedad proyectiva es el cierre de Zariski de la unión de todas las líneas secantes (cuerdas) a V en : ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$

${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)=\bigcup _{x,y\in V}{\overline {xy}}}$

(para , la línea es la línea tangente .) También es la imagen bajo la proyección del cierre Z de la variedad de incidencia ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle {\overline {xy}}}$ ${\displaystyle p_{3}:(\mathbb {P} ^{r})^{3}\to \mathbb {P} ^{r}}$

${\displaystyle \{(x,y,r)|x\wedge y\wedge r=0\}}$.

Tenga en cuenta que Z tiene dimensión y, por lo tanto, tiene dimensión como máximo . ${\displaystyle 2\dim V+1}$ ${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)}$ ${\displaystyle 2\dim V+1}$

En términos más generales, la variedad secante es la clausura de Zariski de la unión de los espacios lineales generados por conjuntos de k+1 puntos en . Puede denotarse por . La variedad secante anterior es la primera variedad secante. A menos que , siempre es singular a lo largo de , pero puede tener otros puntos singulares. ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}=\mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k-1}}$

Si tiene dimensión d , la dimensión de es como máximo . Una herramienta útil para calcular la dimensión de una variedad secante es el lema de Terracini. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle kd+d+k}$

Ejemplos

Una variedad secante se puede utilizar para mostrar el hecho de que una curva proyectiva suave se puede incrustar en el 3-espacio proyectivo de la siguiente manera. ^[2] Sea una curva suave. Dado que la dimensión de la variedad secante S a C tiene dimensión como máximo 3, si , entonces hay un punto p en que no está en S y, por lo tanto, tenemos la proyección desde p a un hiperplano H , que da la incrustación . Ahora repita. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle r>3}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle \pi _{p}}$ ${\displaystyle \pi _{p}:C\hookrightarrow H\simeq \mathbb {P} ^{r-1}}$

Si es una superficie que no se encuentra en un hiperplano y si , entonces S es una superficie Veronese . ^[3] ${\displaystyle S\subset \mathbb {P} ^{5}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sect} (S)\neq \mathbb {P} ^{5}}$

Referencias

1. Griffiths y Harris 1994, pág. 173
2. Griffiths y Harris 1994, pág. 215
3. Griffiths y Harris 1994, pág. 179

• Eisenbud, David; Joe, Harris (2016), 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
• Griffiths, P .; Harris, J. (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. pág. 617. ISBN 0-471-05059-8.
• Joe Harris, Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97716-3