En geometría , una secante es una recta que intersecta una curva en un mínimo de dos puntos distintos . [1] La palabra secante proviene del vocablo latino secare , que significa cortar . [2] En el caso de un círculo , una secante corta al círculo exactamente en dos puntos. Una cuerda es el segmento de recta determinado por los dos puntos, es decir, el intervalo de la secante cuyos extremos son los dos puntos. [3]
Una línea recta puede cortar a un círculo en cero, uno o dos puntos. Una recta que tiene intersecciones en dos puntos se llama recta secante , en un punto tangente y en ningún punto recta exterior . Una cuerda es el segmento de recta que une dos puntos distintos de un círculo. Por tanto, una cuerda está contenida en una recta secante única y cada recta secante determina una cuerda única.
En los tratamientos modernos rigurosos de la geometría plana , generalmente se demuestran resultados que parecen obvios y que Euclides asumió (sin afirmar) en su tratamiento .
Por ejemplo, Teorema (Continuidad Circular Elemental) : [4] Si es un círculo y una recta que contiene un punto A que está dentro y un punto B que está fuera entonces es una recta secante para .
En algunas situaciones, expresar los resultados en términos de líneas secantes en lugar de acordes puede ayudar a unificar las declaraciones. Como ejemplo de esto, considere el resultado: [5]
Si el punto P está dentro del círculo, esto es Euclides III.35, pero si el punto está fuera del círculo, el resultado no está contenido en los Elementos. Sin embargo, Robert Simson, siguiendo a Christopher Clavius , demostró este resultado, a veces llamado teorema de las secantes , en sus comentarios sobre Euclides. [6]
Para curvas más complicadas que simples círculos, surge la posibilidad de que una línea que corte a una curva en más de dos puntos distintos. Algunos autores definen una recta secante a una curva como una recta que corta a la curva en dos puntos distintos. Esta definición deja abierta la posibilidad de que la recta pueda tener otros puntos de intersección con la curva. Cuando se expresa de esta manera, las definiciones de recta secante para círculos y curvas son idénticas y la posibilidad de puntos de intersección adicionales simplemente no ocurre para un círculo.
Las secantes pueden usarse para aproximar la recta tangente a una curva , en algún punto P , si existe. Defina una secante a una curva por dos puntos , P y Q , con P fija y Q variable. A medida que Q se acerca a P a lo largo de la curva, si la pendiente de la secante se acerca a un valor límite , entonces ese límite define la pendiente de la recta tangente en P. [1] Las rectas secantes PQ son las aproximaciones a la recta tangente. En cálculo, esta idea es la definición geométrica de la derivada .
Una recta tangente a una curva en un punto P puede ser una recta secante a esa curva si corta la curva en al menos un punto distinto de P. Otra forma de ver esto es darse cuenta de que ser una recta tangente en un punto P es una propiedad local , que depende sólo de la curva en la vecindad inmediata de P , mientras que ser una recta secante es una propiedad global ya que todo el dominio de la Es necesario examinar la función que produce la curva.
El concepto de recta secante se puede aplicar en un entorno más general que el espacio euclidiano. Sea K un conjunto finito de k puntos en algún entorno geométrico. Una recta se llamará n -secante de K si contiene exactamente n puntos de K . [7] Por ejemplo, si K es un conjunto de 50 puntos dispuestos en un círculo en el plano euclidiano, una recta que une dos de ellos sería una 2-secante (o bisecante ) y una recta que pasa por solo uno de ellos sería una 1-secante (o unisecante ). Una unisecante en este ejemplo no tiene por qué ser una línea tangente al círculo.
Esta terminología se utiliza a menudo en geometría de incidencia y geometría discreta . Por ejemplo, el teorema de geometría de incidencia de Sylvester-Gallai establece que si n puntos de la geometría euclidiana no son colineales , entonces debe existir una 2-secante de ellos. Y el problema original de geometría discreta de plantación de huertos exige un límite en el número de 3 secantes de un conjunto finito de puntos.
La finitud del conjunto de puntos no es esencial en esta definición, siempre que cada línea pueda cruzar el conjunto sólo en un número finito de puntos.
