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Categoría accesible

La teoría de categorías accesibles es una parte de las matemáticas , específicamente de la teoría de categorías . Intenta describir las categorías en términos del "tamaño" (un número cardinal ) de las operaciones necesarias para generar sus objetos.

La teoría se origina en el trabajo de Grothendieck completado en 1969, [1] y Gabriel y Ulmer (1971). [2] Ha sido desarrollada en 1989 por Michael Makkai y Robert Paré, con la motivación proveniente de la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática . [3] Un libro de texto estándar de Adámek y Rosický apareció en 1994. [4] Las categorías accesibles también tienen aplicaciones en la teoría de la homotopía . [5] [6] Grothendieck continuó el desarrollo de la teoría para propósitos de teoría de la homotopía en su manuscrito de 1991 (aún parcialmente inédito) Les dérivateurs . [7] Algunas propiedades de las categorías accesibles dependen del universo de conjuntos en uso, particularmente de las propiedades cardinales y del principio de Vopěnka . [8]

k-colimites dirigidos yk-objetos presentables

Sea un cardinal regular infinito , es decir, un número cardinal que no es la suma de un número menor de cardinales menores; ejemplos son ( aleph-0 ), el primer número cardinal infinito, y , el primer cardinal incontable). Un conjunto parcialmente ordenado se llama -dirigido si cada subconjunto de de cardinalidad menor que tiene un límite superior en . En particular, los conjuntos dirigidos ordinarios son precisamente los conjuntos -dirigidos.

Ahora sea una categoría . Un límite directo (también conocido como colimite dirigido) sobre un conjunto -dirigido se llama colimite -dirigido . Un objeto de se llama -presentable si el funtor Hom preserva todos los colimites -dirigidos en . Está claro que cada objeto -presentable también es -presentable siempre que , ya que cada colimite -dirigido es también un colimite -dirigido en ese caso. Un objeto -presentable se llama finitamente presentable .

Ejemplos

k-categorías accesibles y presentables localmente

La categoría se denomina -accesible siempre que:

Una categoría -accesible se denomina finitamente accesible . Una categoría se denomina accesible si es -accesible para algún cardinal regular infinito . Cuando una categoría accesible también es cocompleta , se denomina localmente presentable .

Un funtor entre categorías -accesibles se llama -accesible siempre que preserve los colimites -dirigidos.

Ejemplos

Teoremas

Se puede demostrar que cada categoría localmente presentable también es completa . [9] Además, una categoría es localmente presentable si y sólo si es equivalente a la categoría de modelos de un boceto límite . [10]

Los funtores adjuntos entre categorías localmente presentables tienen una caracterización particularmente simple. Un funtor entre categorías localmente presentables:

Notas

  1. ^ Grothendieck, Alejandro; et al. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas , Lecture Notes in Mathematics 269, Springer
  2. ^ Gabriel, P; Ulmer, F (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien , Lecture Notes in Mathematics 221, Springer
  3. ^ Makkai, Michael; Paré, Robert (1989), Categorías accesibles: el fundamento de la teoría de modelos categóricos , Matemáticas contemporáneas, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
  4. ^ Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (10 de marzo de 1994). Categorías localmente presentables y accesibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511600579. ISBN 978-0-521-42261-1.
  5. ^ J. Rosický "Sobre categorías de modelos combinatorios", arXiv , 16 de agosto de 2007. Recuperado el 19 de enero de 2008.
  6. ^ Rosický, J. "Inyectividad y categorías accesibles". Cubo Matem. Educación 4 (2002): 201-211.
  7. ^ Grothendieck, Alexander (1991), Los derivadores , Matemáticas contemporáneas, manuscrito(Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis)
  8. ^ Adamek/Rosický 1994, capítulo 6
  9. ^ Adamek/Rosický 1994, observación 1,56
  10. ^ Adamek/Rosický 1994, corolario 1,52

Referencias

Adámek, J.; Rosický, J. (10 de marzo de 1994). Categorías localmente presentables y accesibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511600579. ISBN 978-0-521-42261-1.