Círculo osculador

Círculo de curvatura correspondiente inmediata de una curva en un punto

Un círculo osculador

Círculos osculadores de la espiral de Arquímedes , anidados por el teorema de Tait-Kneser . "La espiral en sí no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde los círculos están especialmente cerca uno del otro". ^[1]

Un círculo osculador es un círculo que se aproxima mejor a la curvatura de una curva en un punto específico. Es tangente a la curva en ese punto y tiene la misma curvatura que la curva en ese punto. ^[2] El círculo osculador proporciona una forma de comprender el comportamiento local de una curva y se utiliza comúnmente en geometría diferencial y cálculo.

Más formalmente, en geometría diferencial de curvas , el círculo osculador de una curva plana suficientemente suave en un punto dado p sobre la curva se ha definido tradicionalmente como el círculo que pasa por p y un par de puntos adicionales sobre la curva infinitesimalmente cercanos a p . Su centro se encuentra en la línea normal interna y su curvatura define la curvatura de la curva dada en ese punto. Este círculo, que es el único entre todos los círculos tangentes en el punto dado que se aproxima más a la curva, fue llamado circulus osculans (del latín "círculo que se besa") por Leibniz .

El centro y el radio del círculo osculador en un punto dado se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. Isaac Newton describió una construcción geométrica en sus Principia :

Dada, en cualquier lugar, la velocidad con la que un cuerpo describe una figura dada, por medio de fuerzas dirigidas a un centro común: encontrar ese centro.

—  Isaac Newton, Principia ; PROPOSICIÓN V. PROBLEMA I.

Descripción no técnica

Imaginemos un coche que se desplaza por una carretera con curvas sobre una gran superficie plana. De repente, en un punto de la carretera, el volante se bloquea en su posición actual. A partir de entonces, el coche se mueve en un círculo que "besa" la carretera en el punto de bloqueo. La curvatura del círculo es igual a la de la carretera en ese punto. Ese círculo es el círculo osculador de la curva de la carretera en ese punto.

Descripción matemática

Sea γ ( s ) una curva plana paramétrica regular , donde s es la longitud del arco (el parámetro natural ). Esto determina el vector tangente unitario T ( s ) , el vector normal unitario N ( s ) , la curvatura con signo k ( s ) y el radio de curvatura R ( s ) en cada punto para el que se compone s : $${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$$

Supóngase que P es un punto en γ donde k ≠ 0 . El centro de curvatura correspondiente es el punto Q a la distancia R a lo largo de N , en la misma dirección si k es positivo y en la dirección opuesta si k es negativo. El círculo con centro en Q y radio R se llama círculo osculador de la curva γ en el punto P .

Si C es una curva espacial regular , entonces el círculo osculador se define de manera similar, utilizando el vector normal principal N. Se encuentra en el plano osculador , el plano abarcado por los vectores tangente y normal principal T y N en el punto P.

La curva plana también se puede dar en una parametrización regular diferente , donde regular significa que para todo . Entonces, las fórmulas para la curvatura con signo k ( t ), el vector unitario normal N ( t ), el radio de curvatura R ( t ) y el centro Q ( t ) del círculo osculador son $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Coordenadas cartesianas

Podemos obtener el centro del círculo osculador en coordenadas cartesianas si sustituimos t = x e y = f ( x ) por alguna función f . Si realizamos los cálculos los resultados para las coordenadas X e Y del centro del círculo osculador son: $${\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$$

Derivación geométrica directa

Consideremos tres puntos , y , donde . Para hallar el centro del círculo que pasa por estos puntos, primero tenemos que hallar las bisectrices de los segmentos de y y luego el punto donde se cruzan estas rectas. Por lo tanto, las coordenadas de se obtienen resolviendo un sistema lineal de dos ecuaciones: donde , para . ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle P_{2}}$ ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$ $${\displaystyle \left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2}$$ ${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$ ${\textstyle u=x,y}$

Consideremos ahora la curva y el conjunto , y . Para el segundo orden en , tenemos y una expresión similar para y donde el signo de está invertido. Desarrollando la ecuación para y agrupando los términos en y , obtenemos Denotando , la primera ecuación significa que es ortogonal al vector tangente unitario en : La segunda relación significa que donde es el vector de curvatura. En geometría plana, es ortogonal a porque Por lo tanto y el radio del círculo osculador es precisamente la inversa de la curvatura. ${\textstyle P=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$ ${\textstyle d\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \delta u_{2}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ ${\textstyle x_{c},y_{c}}$ ${\textstyle d\tau }$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$ ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle P_{1}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}}$$ ${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \mathbf {t} }$ $${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0}$$ ${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$

Resolviendo la ecuación para las coordenadas de , encontramos ${\textstyle C}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}}$$

Círculo osculador como problema de minimización

Consideremos una curva definida intrínsecamente por la ecuación que podemos imaginar como la sección de la superficie por el plano . La normal a la curva en un punto es el gradiente en ese punto Por lo tanto, los centros de los círculos tangentes están dados por donde es el parámetro. Para un radio dado de es Deseamos encontrar, entre todos los círculos posibles , el que mejor se adapte a la curva. ${\textstyle C}$ $${\displaystyle f(x,y)=0}$$ ${\textstyle z=f(x,y)}$ ${\textstyle z=0}$ ${\textstyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle \mathbf {n} =(f_{x},f_{y})}$$ ${\textstyle B_{\alpha }}$ $${\displaystyle X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}}$$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \alpha ,}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle B_{\alpha }}$ $${\displaystyle R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}$$ ${\textstyle B_{\alpha }}$

Las coordenadas de un punto se pueden escribir como donde para , , es decir Consideremos ahora un punto cercano a , donde su "ángulo" es . Desarrollando las funciones trigonométricas hasta el segundo orden en y usando las relaciones anteriores, las coordenadas de son Ahora podemos evaluar la función en el punto y su variación . La variación es cero hasta el primer orden en por construcción (hasta el primer orden en , está en la línea tangente a la curva ). La variación proporcional a es y esta variación es cero si elegimos Por lo tanto, el radio del círculo osculador es ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ $${\displaystyle x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta }$$ ${\textstyle \theta =\theta _{0}}$ ${\textstyle P_{1}=P_{0}}$ $${\displaystyle R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}}$$ ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$ ${\textstyle d\theta }$ ${\displaystyle P_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\displaystyle f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})}$ ${\textstyle d\theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle C}$ ${\displaystyle (d\theta )^{2}}$ $${\displaystyle df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}}$$ $${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|}$$

Para una función explícita , encontramos los resultados de la sección anterior. ${\displaystyle f(x,y)=y-g(x)}$

Propiedades

Para una curva C dada por ecuaciones paramétricas suficientemente suaves (dos veces continuamente diferenciables), el círculo osculador puede obtenerse mediante un procedimiento límite: es el límite de los círculos que pasan por tres puntos distintos en C cuando estos puntos se aproximan a P. ^[3] Esto es completamente análogo a la construcción de la tangente a una curva como límite de las líneas secantes a través de pares de puntos distintos en C que se aproximan a P.

El círculo osculador S a una curva plana C en un punto regular P se puede caracterizar por las siguientes propiedades:

• El círculo S pasa por P.
• El círculo S y la curva C tienen como línea tangente común P , y por lo tanto como línea normal común.
• Cerca de P , la distancia entre los puntos de la curva C y el círculo S en la dirección normal decae como el cubo o una potencia mayor de la distancia a P en la dirección tangencial.

Esto se expresa generalmente como "la curva y su círculo osculador tienen el contacto de segundo orden o superior " en P . En términos generales, las funciones vectoriales que representan C y S concuerdan con sus derivadas primera y segunda en P .

Si la derivada de la curvatura con respecto a s es distinta de cero en P , entonces el círculo osculador corta la curva C en P. Los puntos P en los que la derivada de la curvatura es cero se denominan vértices . Si P es un vértice, entonces C y su círculo osculador tienen contacto de orden al menos tres. Si, además, la curvatura tiene un máximo o mínimo local distinto de cero en P , entonces el círculo osculador toca la curva C en P, pero no la corta.

La curva C puede obtenerse como la envolvente de la familia uniparamétrica de sus círculos osculadores. Sus centros, es decir, los centros de curvatura, forman otra curva, llamada evoluta de C. Los vértices de C corresponden a puntos singulares de su evoluta.

Dentro de cualquier arco de una curva C en el que la curvatura sea monótona (es decir, alejada de cualquier vértice de la curva), los círculos osculadores están todos disjuntos y anidados unos dentro de otros. Este resultado se conoce como el teorema de Tait-Kneser . ^[1]

Ejemplos

Parábola

El círculo osculador de la parábola en su vértice tiene radio 0,5 y contacto de cuarto orden.

Para la parábola el radio de curvatura es En el vértice el radio de curvatura es igual a R (0) = 0,5 (ver figura). La parábola tiene contacto de cuarto orden con su círculo osculador allí. Para t grande el radio de curvatura aumenta ~ t ³ , es decir, la curva se endereza cada vez más. $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|}$$ ${\displaystyle \gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

Curva de Lissajous

Animación del círculo osculador a una curva de Lissajous

Una curva de Lissajous con relación de frecuencias (3:2) se puede parametrizar de la siguiente manera

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.}$

Tiene curvatura firmada k ( t ) , vector unitario normal N ( t ) y radio de curvatura R ( t ) dado por y $${\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,}$$ $${\displaystyle N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.}$$

Vea la figura para ver una animación. Allí, el "vector de aceleración" es la segunda derivada con respecto a la longitud del arco s . ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$

Cicloide

Cicloide (azul), su círculo osculador (rojo) y evoluta (verde).

Una cicloide con radio r se puede parametrizar de la siguiente manera: $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}}$$

Su curvatura viene dada por la siguiente fórmula: ^[4] que da: $${\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}$$ $${\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}}$$

Véase también

• Teorema de empaquetamiento circular
• Curva osculante
• Esfera osculante

Notas

1. Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013). "Curvas osculantes: en torno al teorema de Tait-Kneser". The Mathematical Intelligencer . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. MR  3041992. S2CID  18183204.
2. "12.4 Longitud y curvatura del arco" . Consultado el 19 de septiembre de 2023 .
3. En realidad, bastaría con el punto P más dos puntos adicionales, uno a cada lado de P. Véase Lamb (en línea): Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. pág. 406. círculo osculador.
4. Weisstein, Eric W. "Cicloide". MundoMatemático .

Lectura adicional

Para algunas notas históricas sobre el estudio de la curvatura, véase

• Grattan-Guinness y H. J. M. Bos (2000). Del cálculo a la teoría de conjuntos 1630-1910: una historia introductoria. Princeton University Press. pág. 72. ISBN 0-691-07082-2.
• Roy Porter, ed. (2003). Historia de la ciencia en Cambridge: v4 - Ciencia del siglo XVIII. Cambridge University Press. pág. 313. ISBN 0-521-57243-6.

Para la aplicación a vehículos de maniobra, consulte

• JC Alexander y JH Maddocks (1988): Sobre la maniobrabilidad de vehículos doi :10.1137/0148002
• Murray S. Klamkin (1990). Problemas en Matemáticas Aplicadas: selecciones de la revista SIAM. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. p. 1. ISBN 0-89871-259-9.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Círculo osculador". MathWorld .
• math3d : círculo osculador