Alcance (lógica)

Rango de aplicación de un cuantificador o conectivo en una fórmula lógica

En lógica , el alcance de un cuantificador o conectivo es la fórmula más corta en la que aparece, ^[1] determinando el rango en la fórmula al que se aplica el cuantificador o conectivo. ^{[2] [3] [4]} Las nociones de variable libre y variable ligada se definen en términos de si esa fórmula está dentro del alcance de un cuantificador, ^{[2] [5]} y las nociones de conectivo dominante y conectivo subordinado se definen en términos de si un conectivo incluye a otro dentro de su alcance . ^{[6] [7]}

Conectivos

El alcance de un conectivo lógico que ocurre dentro de una fórmula es la fórmula bien formada más pequeña que contiene el conectivo en cuestión. ^{[2] [6] [8]} El conectivo con el alcance más grande en una fórmula se llama su conectivo dominante, ^{[9] [10]} conectivo principal , ^{[6] [8] [7]} operador principal , ^[2] conectivo mayor , ^[4] o conectivo principal ; ^[4] un conectivo dentro del alcance de otro conectivo se dice que está subordinado a él. ^[6]

Por ejemplo, en la fórmula , el conectivo dominante es ↔, y todos los demás conectivos están subordinados a él; el → está subordinado al ∨, pero no al ∧; el primer ¬ también está subordinado al ∨, pero no al →; el segundo ¬ está subordinado al ∧, pero no al ∨ o al →; y el tercer ¬ está subordinado al segundo ¬, así como al ∧, pero no al ∨ o al →. ^[6] Si se adopta un orden de precedencia para los conectivos, es decir, con ¬ aplicándose primero, luego ∧ y ∨, luego →, y finalmente ↔, esta fórmula puede escribirse en la forma menos paréntesis , que algunos pueden encontrar más fácil de leer. ^[6] ${\displaystyle (\left(\left(P\rightarrow Q\right)\lor \lnot Q\right)\leftrightarrow \left(\lnot \lnot P\land Q\right))}$ ${\displaystyle \left(P\rightarrow Q\right)\lor \lnot Q\leftrightarrow \lnot \lnot P\land Q}$

Cuantificadores

El alcance de un cuantificador es la parte de una expresión lógica sobre la que el cuantificador ejerce control. ^[3] Es la oración completa más corta ^[5] escrita justo después del cuantificador, ^{[3] [5]} a menudo entre paréntesis; ^[3] algunos autores ^[11] describen esto como la inclusión de la variable escrita justo después del cuantificador universal o existencial. En la fórmula ∀ xP , por ejemplo, P ^[5] (o xP ) ^[11] es el alcance del cuantificador ∀ x ^[5] (o ∀ ). ^[11]

Esto da lugar a las siguientes definiciones: ^[a]

• Se dice que una aparición de un cuantificador o , seguida inmediatamente por una aparición de la variable , como en o , es vinculante. ^{[1] [5]} ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \forall \xi }$ ${\displaystyle \exists \xi }$ ${\displaystyle \xi }$
• Una ocurrencia de una variable en una fórmula es libre en si, y sólo si, no está dentro del alcance de ningún cuantificador vinculante en ; de lo contrario, está vinculada en . ^{[1] [5]} ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$
• Una fórmula cerrada es aquella en la que ninguna variable se encuentra libre; una fórmula que no es cerrada es abierta . ^{[12] [1]}
• Una ocurrencia de un cuantificador o es nula si, y sólo si, su alcance es o , y la variable no ocurre libre en . ^[1] ${\displaystyle \forall \xi }$ ${\displaystyle \exists \xi }$ ${\displaystyle \forall \xi \psi }$ ${\displaystyle \exists \xi \psi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \psi }$
• Una variable es libre para una variable si, y sólo si, no hay ocurrencias libres de dentro del alcance de una cuantificación en . ^[12] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$
• Se dice que un cuantificador cuyo alcance contiene otro cuantificador tiene un alcance más amplio que el segundo, el cual, a su vez, se dice que tiene un alcance más estrecho que el primero. ^[13]

Véase también

• Falacia del alcance modal
• Formulario Prenex
• Glosario de lógica
• Variables libres y variables ligadas
• Fórmula abierta

Notas

1. Estas definiciones siguen la práctica común de utilizar letras griegas como símbolos metalógicos que pueden representar símbolos en un lenguaje formal para la lógica proposicional o de predicados . En particular, y se utilizan para representar cualquier fórmula , mientras que y se utilizan para representar variables proposicionales . ^[1] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$

Referencias

1. Bostock, David (1997). Lógica intermedia . Oxford: Nueva York: Clarendon Press; Oxford University Press. pp. 8, 79. ISBN. 978-0-19-875141-0.
2. Cook, Roy T. (20 de marzo de 2009). Dictionary of Philosophical Logic. Edinburgh University Press. págs. 99, 180, 254. ISBN 978-0-7486-3197-1.
3. Rich, Elaine; Cline, Alan Kaylor. Alcance del cuantificador.
4. Makridis, Odysseus (21 de febrero de 2022). Lógica simbólica. Springer Nature. pp. 93–95. ISBN 978-3-030-67396-3.
5. «3.3.2: Alcance del cuantificador, variables ligadas y variables libres». Humanities LibreTexts . 21 de enero de 2017 . Consultado el 10 de junio de 2024 .
6. Lemmon, Edward John (1998). Lógica inicial . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. págs. 45–48. ISBN 978-0-412-38090-7.
7. Gillon, Brendan S. (12 de marzo de 2019). Semántica del lenguaje natural: formación y valoración. MIT Press. págs. 250–253. ISBN 978-0-262-03920-8.
8. "Ejemplos | Notas de lógica - ANU". users.cecs.anu.edu.au . Consultado el 10 de junio de 2024 .
9. Suppes, Patrick; Hill, Shirley (30 de abril de 2012). Primer curso de lógica matemática. Courier Corporation. págs. 23-26. ISBN 978-0-486-15094-9.
10. Kirk, Donna (22 de marzo de 2023). "2.2. Enunciados compuestos". Matemáticas contemporáneas. OpenStax.
11. Bell, John L. ; Machover, Moshé (15 de abril de 2007). "Capítulo 1. Introducción a la lógica matemática". Un curso de lógica matemática . Elsevier Science Ltd. pág. 17. ISBN 978-0-7204-2844-5.
12. Uzquiano, Gabriel (2022), "Cuantificadores y cuantificación", en Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 10 de junio de 2024
13. Allen, Colin; Hand, Michael (2001). Introducción a la lógica (2.ª ed.). Cambridge, Mass.: MIT Press. pág. 66. ISBN 978-0-262-51126-1.