Proyección vectorial

Concepto en álgebra lineal

La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial ) de un vector a sobre un vector b distinto de cero es la proyección ortogonal de a sobre una línea recta paralela a b . La proyección de a sobre b suele escribirse como o a _{∥ b} . ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

El componente vectorial o vector resuelto de a perpendicular a b , a veces también llamado rechazo vectorial de a desde b (denotado o a _{⊥ b} ), ^[1] es la proyección ortogonal de a sobre el plano (o, en general, hiperplano ) que es ortogonal a b . Como tanto y son vectores, y su suma es igual a a , el rechazo de a desde b viene dado por: ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ $${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$

Proyección de a sobre b ( a ₁ ), y rechazo de a desde b ( a ₂ ).

Cuando 90° < θ ≤ 180° , a ₁ tiene una dirección opuesta con respecto a b .

Para simplificar la notación, este artículo define y Por lo tanto, el vector es paralelo al vector es ortogonal a y ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.}$

La proyección de a sobre b se puede descomponer en una dirección y una magnitud escalar escribiéndola como donde es un escalar, llamado proyección escalar de a sobre b , y b̂ es el vector unitario en la dirección de b . La proyección escalar se define como ^[2] donde el operador ⋅ denota un producto escalar , ‖ a ‖ es la longitud de a , y θ es el ángulo entre a y b . La proyección escalar es igual en valor absoluto a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b , es decir, si el ángulo entre los vectores es mayor de 90 grados. ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }$ ${\displaystyle a_{1}}$ $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }$$

La proyección vectorial se puede calcular utilizando el producto escalar de y como: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

Notación

Este artículo utiliza la convención de que los vectores se denotan en negrita (por ejemplo, un ₁ ) y los escalares se escriben en fuente normal (por ejemplo, un ₁ ).

El producto escalar de los vectores a y b se escribe como , la norma de a se escribe ‖ a ‖, el ángulo entre a y b se denota θ . ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

Definiciones basadas en el ánguloθ

Proyección escalar

La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a donde θ es el ángulo entre a y b . $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

Se puede utilizar una proyección escalar como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.

Proyección vectorial

La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuyo módulo es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b . Es decir, se define como donde es la proyección escalar correspondiente, como se definió anteriormente, y es el vector unitario con la misma dirección que b : $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

Rechazo de vectores

Por definición, el rechazo vectorial de a sobre b es: $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Por eso, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

Definiciones en términos de a y b

Cuando no se conoce θ , el coseno de θ se puede calcular en términos de a y b , mediante la siguiente propiedad del producto escalar a ⋅ b $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

Proyección escalar

Por la propiedad antes mencionada del producto escalar, la definición de la proyección escalar queda así: ^[2] $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

En dos dimensiones, esto se convierte en $${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Proyección vectorial

De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en: ^[2] que es equivalente a o [ ^3] $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

Rechazo escalar

En dos dimensiones, el rechazo escalar es equivalente a la proyección de a sobre , que está rotada 90° hacia la izquierda. Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Este producto escalar se denomina "producto escalar perp". ^[4]

Rechazo de vectores

Por definición, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Por eso, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

Al utilizar el rechazo escalar con el producto escalar perp, esto da

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

Propiedades

Si 0° ≤ θ ≤ 90°, como en este caso, la proyección escalar de a sobre b coincide con la longitud de la proyección vectorial.

Proyección escalar

La proyección escalar a sobre b es una proyección escalar que tiene signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados . Coincide con la longitud ‖ c ‖ de la proyección vectorial si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ si 0° ≤ θ ≤ 90° ,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ si 90° < θ ≤ 180° .

Proyección vectorial

La proyección vectorial de a sobre b es un vector a ₁ que es nulo o paralelo a b . Más exactamente:

• a ₁ = 0 si θ = 90° ,
• a ₁ y b tienen la misma dirección si 0° ≤ θ < 90° ,
• a ₁ y b tienen direcciones opuestas si 90° < θ ≤ 180° .

Rechazo de vectores

El rechazo vectorial de a sobre b es un vector a ₂ que es nulo u ortogonal a b . Más exactamente:

• a ₂ = 0 si θ = 0° o θ = 180° ,
• a ₂ es ortogonal a b si 0 < θ < 180° ,

Representación matricial

La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección . Para proyectar un vector sobre el vector unitario a = ( a _x , a _y , a _z ) , se debe multiplicar por esta matriz de proyección: $${\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$$

Usos

La proyección vectorial es una operación importante en la ortonormalización de Gram-Schmidt de bases de espacios vectoriales . También se utiliza en el teorema del eje de separación para detectar si dos formas convexas se intersecan.

Generalizaciones

Dado que las nociones de longitud vectorial y ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio de producto interno de n dimensiones , esto también es válido para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector desde otro.

En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interno en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y rechazo. Para un espacio de producto interno tridimensional , las nociones de proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector desde otro se pueden generalizar a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y rechazo de un vector desde un plano. ^[5] La proyección de un vector sobre un plano es su proyección ortogonal sobre ese plano. El rechazo de un vector desde un plano es su proyección ortogonal sobre una línea recta que es ortogonal a ese plano. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, el segundo es ortogonal.

Para un vector y un plano dados, la suma de la proyección y el rechazo es igual al vector original. De manera similar, para espacios de producto interno con más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y rechazo desde un vector se pueden generalizar a las nociones de proyección sobre un hiperplano y rechazo desde un hiperplano . En álgebra geométrica , se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y rechazo de un multivector general sobre/desde cualquier k -cuchilla invertible.

Véase también

• Proyección escalar
• Notación vectorial

Referencias

1. Perwass, G. (2009). Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería. Springer. pág. 83. ISBN 9783540890676.
2. "Proyecciones escalares y vectoriales". www.ck12.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
3. "Productos escalares y proyecciones".
4. Hill, FS Jr. (1994). Graphics Gems IV . San Diego: Academic Press. págs. 138-148.
5. MJ Baker, 2012. Proyección de un vector sobre un plano. Publicado en www.euclideanspace.com.

Enlaces externos

• Proyección de un vector sobre un plano