medida s-finita

Función matemática en la teoría de la medida

En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas que estudia nociones generalizadas de volúmenes, una medida s-finita es un tipo especial de medida . Una medida s-finita es más general que una medida finita, pero permite generalizar ciertas pruebas para medidas finitas.

Las medidas s-finitas no deben confundirse con las medidas σ-finitas (sigma-finitas) .

Definición

Sea un espacio medible y una medida en este espacio medible. La medida se denomina medida s-finita si se puede escribir como una suma contable de medidas finitas ( ), ^[1] ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu _{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.}$

Ejemplo

La medida de Lebesgue es una medida s-finita. Para ello, establezca ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle B_{n}=(-n,-n+1]\cup [n-1,n)}$

y definir las medidas por ${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\lambda (A\cap B_{n})}$

para todos los conjuntos mensurables . Estas medidas son finitas, ya que para todos los conjuntos mensurables , y por construcción satisfacen ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu _{n}(A)\leq \nu _{n}(B_{n})=2}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.}$

Por lo tanto la medida de Lebesgue es s-finita.

Propiedades

Relación con medidas σ-finitas

Toda medida σ-finita es s-finita, pero no toda medida s-finita es también σ-finita.

Para demostrar que toda medida σ-finita es s-finita, sea σ-finita. Entonces hay conjuntos disjuntos medibles con y ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$ ${\displaystyle \mu (B_{n})<\infty }$

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=X}$

Luego las medidas

${\displaystyle \nu _{n}(\cdot ):=\mu (\cdot \cap B_{n})}$

son finitos y su suma es . Este enfoque es igual que en el ejemplo anterior. ${\displaystyle \mu }$

Un ejemplo de una medida s-finita que no es σ-finita se puede construir en el conjunto con la σ-álgebra . Para todo , sea la medida de conteo en este espacio medible y definamos ${\displaystyle X=\{a\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\{a\},\emptyset \}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle \mu :=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.}$

La medida es por construcción s-finita (ya que la medida de conteo es finita en un conjunto con un elemento). Pero no es σ-finita, ya que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (\{a\})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}(\{a\})=\sum _{n=1}^{\infty }1=\infty .}$

Por lo tanto no puede ser σ-finito. ${\displaystyle \mu }$

Equivalencia con medidas de probabilidad

Para cada medida s-finita , existe una medida de probabilidad equivalente , lo que significa que . ^[1] Una posible medida de probabilidad equivalente está dada por ${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu \sim P}$

${\displaystyle P=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}{\frac {\nu _{n}}{\nu _{n}(X)}}.}$

Referencias

1. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.

• Falkner, Neil (2009). "Reseñas". American Mathematical Monthly . 116 (7): 657–664. doi :10.4169/193009709X458654. ISSN  0002-9890.
• Olav Kallenberg (12 de abril de 2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones. Springer. ISBN 978-3-319-41598-7.
• Günter Last; Mathew Penrose (26 de octubre de 2017). Lecciones sobre el proceso de Poisson. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-08801-6.
• RK Getoor (6 de diciembre de 2012). Medidas excesivas. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3470-8.