En geometría , las figuras de Gosset-Elte , llamadas así por Coxeter en honor a Thorold Gosset y EL Elte , son un grupo de politopos uniformes que no son regulares , generados por una construcción de Wythoff con espejos todos relacionados por ángulos diedros de orden 2 y orden 3. Pueden verse como diagramas de Coxeter-Dynkin con un anillo en un extremo .
El símbolo de Coxeter para estas figuras tiene la forma k i,j , donde cada letra representa una longitud de ramas de orden 3 en un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo anillo en el nodo final de una secuencia de ramas de longitud k . La figura del vértice de k i,j es ( k − 1) i,j , y cada una de sus facetas se representa restando uno de uno de los subíndices distintos de cero, es decir, k i − 1, j y k i , j − 1 . [1]
Los símplices rectificados se incluyen en la lista como casos límite con k = 0. De manera similar, 0 i,j,k representa un grafo bifurcado con un nodo central anillado.
Coxeter nombró estas figuras como k i,j (o k ij ) en forma abreviada y dio crédito de su descubrimiento a Gosset y Elte: [2]
La enumeración de Elte incluyó todos los politopos k ij excepto el 1 42 que tiene 3 tipos de 6 caras.
El conjunto de figuras se extiende a panales de las familias (2,2,2), (3,3,1) y (5,4,1) en espacios euclidianos de 6, 7 y 8 dimensiones respectivamente. La lista de Gosset incluyó el panal 5 21 como el único semirregular en su definición.
Los politopos y panales de esta familia se pueden ver dentro de la clasificación ADE .
Existe un politopo finito k ij si
o igual para panales euclidianos, y menor para panales hiperbólicos.
El grupo de Coxeter [3 i,j,k ] puede generar hasta 3 figuras de Gosset-Elte uniformes únicas con diagramas de Coxeter-Dynkin con un nodo final anillado. Según la notación de Coxeter , cada figura se representa por k ij para indicar que el nodo final de la secuencia de longitud k está anillado.
La familia simplex puede verse como un caso límite con k = 0 y todos los diagramas de Coxeter-Dynkin rectificados (de anillo único).
La familia de n - símplices contiene figuras de Gosset-Elte de la forma 0 ij como todas las formas rectificadas del n -símplice ( i + j = n − 1).
Se enumeran a continuación, junto con su diagrama de Coxeter-Dynkin , con cada familia dimensional dibujada como una proyección ortogonal gráfica en el plano del polígono de Petrie del símplex regular.
Cada grupo D n tiene dos figuras de Gosset-Elte, el n - semihipercubo como 1 k1 , y una forma alternada del n - ortoplex , k 11 , construida con facetas símplex alternadas. Los n - semihipercubos rectificados , una forma de simetría inferior de un n -cubo birectificado, también se pueden representar como 0 k11 .
Cada grupo E n de 4 a 8 tiene dos o tres figuras de Gosset-Elte, representadas por uno de los nodos finales anillados: k 21 , 1 k2 , 2 k1 . Una serie rectificada de 1 k2 también se puede representar como 0 k21 .
Hay tres grupos de Coxeter euclidianos ( afines ) en las dimensiones 6, 7 y 8: [5]
Hay tres grupos de Coxeter hiperbólicos ( paracompactos ) en dimensiones 7, 8 y 9:
Como generalización, también se pueden expresar más ramas de orden 3 con este símbolo. El grupo de Coxeter afín de 4 dimensiones , , [3 1,1,1,1 ], tiene cuatro ramas de orden 3 y puede expresar un panal, 1 111 ,
, representa una forma de simetría inferior del panal de 16 celdas , y 0 1111 ,
para el panal rectificado de 16 celdas . El grupo hiperbólico de Coxeter de 5 dimensiones , [3 1,1,1,1,1 ], tiene cinco ramas de orden 3 y puede expresar un panal, 1 1111 ,y su rectificación como 0 11111 ,.
