Rompecabezas de movimiento secuencial n-dimensional

^{Corte parcial del rompecabezas 2x5} de cinco dimensiones que demuestra que, incluso con el tamaño mínimo en 5D, el rompecabezas está lejos de ser trivial. La naturaleza 4D de las pegatinas se ve claramente en esta captura de pantalla.

El cubo de Rubik es el original y más conocido de los rompecabezas tridimensionales de movimiento secuencial . Ha habido muchas implementaciones virtuales de este rompecabezas en software . Es una extensión natural crear rompecabezas de movimiento secuencial en más de tres dimensiones . Aunque nunca se podría construir físicamente un rompecabezas de este tipo, las reglas de cómo funcionan están definidas matemáticamente de manera bastante rigurosa y son análogas a las reglas que se encuentran en la geometría tridimensional. Por lo tanto, se pueden simular mediante software. Al igual que con los rompecabezas mecánicos de movimiento secuencial, existen récords para los solucionadores, aunque todavía no el mismo grado de organización competitiva.

Glosario

• Vértice . Punto de dimensión cero en el que se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• Arista . Figura unidimensional en la que se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• Cara . Figura bidimensional en la que (para objetos de dimensión mayor que tres) se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• Célula . Figura tridimensional en la que (para objetos de dimensión mayor que cuatro) se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• n - Politopo . Figura n -dimensional que continúa como se indicó anteriormente. Una forma geométrica específica puede reemplazar al politopo cuando sea apropiado, como 4-cubos para indicar el teseracto .
• n -célula . Figura de mayor dimensión que contiene n celdas.
• Pieza . Una sola parte móvil del rompecabezas que tiene la misma dimensionalidad que el rompecabezas completo.
• Cubie . En la comunidad de resolución de problemas, este es el término que generalmente se usa para referirse a una "pieza".
• Pegatinas . Las etiquetas de colores que se encuentran en el rompecabezas y que identifican el estado del mismo. Por ejemplo, los cubos de las esquinas de un cubo de Rubik son una sola pieza, pero cada uno tiene tres pegatinas. Las pegatinas de los rompecabezas de dimensiones superiores tendrán una dimensionalidad mayor que dos. Por ejemplo, en el cubo de 4, las pegatinas son sólidos tridimensionales.

A modo de comparación, los datos relativos al cubo de Rubik ^3x3 estándar son los siguientes:

Número de combinaciones posibles   ${\displaystyle ={\frac {12!\cdot 8!}{2}}\cdot {\frac {2^{12}}{2}}\cdot {\frac {3^{8}}{3}}\sim 10^{20}}$

Existe cierto debate sobre si los cubitos del centro de las caras deben contarse como piezas separadas, ya que no se pueden mover entre sí. Se puede dar un número diferente de piezas en diferentes fuentes. En este artículo, se cuentan los cubitos del centro de las caras, ya que esto hace que las secuencias aritméticas sean más consistentes y, sin duda, se pueden rotar, una solución para la cual requiere algoritmos. Sin embargo, el cubito que está justo en el medio no se cuenta porque no tiene pegatinas visibles y, por lo tanto, no requiere solución. Aritméticamente, deberíamos tener

${\displaystyle P=V+E+F+C\,\!}$

Pero P siempre es uno menos que esto (o la extensión n -dimensional de esta fórmula) en las cifras dadas en este artículo porque C (o el politopo de dimensión más alta correspondiente, para dimensiones mayores) no se cuenta.

Cubo mágico 4D

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , resuelto. En esta proyección no se muestra una celda. La posición de esta celda es el primer plano extremo de la cuarta dimensión más allá de la posición de la pantalla del espectador.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , girado en la cuarta dimensión para mostrar el color de la celda oculta.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3x4 ^, rotado en el espacio 3D normal.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , desordenado.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 2 ^4. Se resalta un cubo para mostrar cómo se distribuyen las pegatinas en el cubo. Observe que hay cuatro pegatinas en cada uno de los cubos del rompecabezas 2 ⁴ , pero solo se resaltan tres; la que falta está en la celda oculta.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 5 ⁴ con pegatinas del mismo cubo hechas para que se toquen exactamente entre sí.

Forma geométrica: Teseracto

El software Superliminal MagicCube4D implementa muchas versiones de rompecabezas con giros de politopos 4D, incluidos cubos N ^4. La interfaz de usuario permite giros y rotaciones 4D, además de controlar los parámetros de visualización 4D, como la proyección en 3D, el tamaño y el espaciado de los cubos y el tamaño de las pegatinas.

Superliminal Software mantiene un Salón de la Fama para quienes rompen récords en la resolución de este rompecabezas.

344 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot {\frac {16!}{2}}\cdot 2^{23}\cdot (3!)^{31}\cdot 3\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{15}\cdot 4}$

${\displaystyle \sim 10^{120}\,\!}$

244 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[2]

${\displaystyle {}={\frac {15!}{2}}\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{14}\cdot 4}$

${\displaystyle {}\sim 10^{28}\,\!}$

444 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {15!}{2}}\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{14}\cdot 4\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot 3^{63}\cdot {\frac {96!\cdot 2}{2\cdot (4!)^{24}}}\cdot {\frac {2^{95}\cdot 64!\cdot 2}{2\cdot (8!)^{8}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{334}\,\!}$

544 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {48!}{(6!)^{8}}}\cdot {\frac {96!}{(12!)^{8}}}\cdot {\frac {64!}{(8!)^{8}}}\cdot {\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot (3!)^{31}\cdot 2^{23}\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot }$ ${\displaystyle 3^{63}\cdot 16!\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{15}\cdot 4\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}}$

${\displaystyle \sim 10^{701}\,\!}$

Cubo mágico 5D

Rompecabezas virtual de 5 cubos 3 ⁵ , de cerca, en estado resuelto.

Rompecabezas virtual de 5 cubos 3 ⁵ , desordenado.

Rompecabezas virtual de 5 cubos 7 ⁵ , con algunas piezas resaltadas y el resto sombreadas para facilitar la comprensión del rompecabezas.

Rompecabezas virtual 5 cubos 7 ⁵ , resuelto.

Panel de control de software para rotar el cubo de 5, que ilustra el mayor número de planos de rotación posibles en 5 dimensiones.

Forma geométrica: penteracto

Magic Cube 5D de Roice Nelson es capaz de generar rompecabezas de 5 cubos en seis tamaños, desde 2,5 ^hasta 7,5 ^. Permite giros 5D y controles para rotar el cubo en múltiples dimensiones, controles de perspectiva 4-D y 5-D, controles de tamaño y espaciado de cubos y calcomanías, similar a Magiccube4D.

Sin embargo, un rompecabezas en 5D es mucho más difícil de comprender que uno en 4D. Una característica esencial de la implementación de Roice es la capacidad de desactivar o resaltar los cubos y las pegatinas seleccionadas. Aun así, la complejidad de las imágenes generadas sigue siendo bastante alta, como se puede ver en las capturas de pantalla.

Roice mantiene un Salón de la Locura para quienes baten récords en la resolución de este rompecabezas. Hasta el 6 de enero de 2011, se han obtenido dos soluciones exitosas para el tamaño 7 ⁵ del cubo 5. ^[3]

355 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}}$

${\displaystyle \sim 10^{561}\,\!}$

255 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}}$

${\displaystyle \sim 10^{89}\,\!}$

455 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{2075}\,\!}$

555 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{(6!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {320!}{(8!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {480!}{(12!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {80!}{(8!)^{10}}}\cdot {\frac {160!}{(16!)^{10}}}\cdot \\{\frac {240!}{(24!)^{10}}}\cdot {\frac {320!}{(32!)^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{5267}\,\!}$

655 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot \\{\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{11441}\,\!}$

755 cubos

Combinaciones alcanzables: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {80!\cdot 40!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot \\{\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot \\{\frac {480!}{48!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{21503}\,\!}$

Cubo mágico 7D

Forma geométrica: hexeracto (6D) y hepteracto (7D)

Rompecabezas virtual 7-cube 5 ⁷ , desordenado.

El software Magic Cube 7D de Andrey Astrelin es capaz de generar rompecabezas de hasta 7 dimensiones en doce tamaños desde 3 ⁴ hasta 5 ⁷ .

A partir de julio de 2024, en términos de rompecabezas exclusivos de Magic Cube 7D, solo se han resuelto los rompecabezas 3 ⁶ , 3 ⁷ , 4 ⁶ y 5 ^{6 . [5]}

Magia de 120 celdas

Rompecabezas virtual de 120 celdas, vista de cerca en estado resuelto

Rompecabezas virtual de 120 celdas, resuelto

Forma geométrica: 120 células (también llamado hecatonicosachoron o dodecacontachoron)

El modelo de 120 celdas es una figura geométrica en 4 dimensiones ( 4-politopo ) compuesta por 120 dodecaedros , que a su vez es una figura en 3 dimensiones compuesta por 12 pentágonos . El modelo de 120 celdas es el análogo en 4 dimensiones del dodecaedro, de la misma manera que el teseracto (4-cubo) es el análogo en 4 dimensiones del cubo. El rompecabezas de movimiento secuencial de software de 120 celdas en 4 dimensiones de Gravitation3d es, por lo tanto, el análogo en 4 dimensiones del rompecabezas en 3 dimensiones Megaminx , que tiene la forma de un dodecaedro.

El rompecabezas está representado en un único tamaño, es decir, tres cubos por lado, pero en seis esquemas de colores de distinta dificultad. El rompecabezas completo requiere un color diferente para cada celda, es decir, 120 colores. Esta gran cantidad de colores aumenta la dificultad del rompecabezas, ya que algunos tonos son bastante difíciles de distinguir. La forma más fácil es la de dos toros entrelazados, cada uno de los cuales forma un anillo de cubos de diferentes dimensiones. La lista completa de esquemas de colores es la siguiente:

• Toros de 2 colores.
• Celdas de 4 cubos de 9 colores. Es decir, el mismo esquema de colores que el de 4 cubos.
• Capas de 9 colores.
• Anillos de 12 colores.
• Antípoda de 60 colores. Cada par de celdas dodecaédricas diametralmente opuestas es del mismo color.
• Rompecabezas completo de 120 colores.

Los controles son muy similares a los del cubo mágico 4-D, con controles para la perspectiva 4-D, el tamaño de las celdas, el tamaño y la distancia de las pegatinas y el zoom y la rotación habituales. Además, existe la posibilidad de desactivar por completo los grupos de celdas en función de la selección de toros, celdas de 4 cubos, capas o anillos.

Gravitation3d ha creado un "Salón de la fama" para los solucionadores, que deben proporcionar un archivo de registro de su solución. A fecha de abril de 2017, el rompecabezas se ha resuelto doce veces. ^[6]

Combinaciones alcanzables: ^[7]

${\displaystyle ={\frac {600!}{2}}\cdot {\frac {1200!}{2}}\cdot {\frac {720!}{2}}\cdot {\frac {2^{720}}{2}}\cdot {\frac {6^{1200}}{2}}\cdot {\frac {12^{600}}{3}}}$

${\displaystyle \sim 10^{8126}\,}$

Este cálculo de combinaciones alcanzables no ha sido demostrado matemáticamente y sólo puede considerarse un límite superior. Su derivación supone la existencia del conjunto de algoritmos necesarios para realizar todas las combinaciones de "cambio mínimo". No hay razón para suponer que estos algoritmos no se encontrarán, ya que los solucionadores de acertijos han logrado encontrarlos en todos los acertijos similares que se han resuelto hasta ahora.

Cuadrado 2D de 3x3

Rompecabezas virtual de 2 cubos 3×3

Forma geométrica: cuadrado

Un rompecabezas de tipo Rubik en 2D no se puede construir físicamente, al igual que uno en 4D. ^[8] Se podría construir un rompecabezas en 3D sin pegatinas en la tercera dimensión, que se comportaría como un rompecabezas en 2D, pero la verdadera implementación del rompecabezas permanece en el mundo virtual. La implementación que se muestra aquí es de Superliminal, que la llama el Cubo Mágico 2D.

El rompecabezas no tiene gran interés para los que lo resuelven, ya que su solución es bastante trivial. En gran parte, esto se debe a que no es posible colocar una pieza en su posición con un giro. Algunos de los algoritmos más difíciles del cubo de Rubik estándar consisten en lidiar con este tipo de giros, en los que una pieza está en su posición correcta pero no en la orientación correcta. En los rompecabezas de dimensiones superiores, este giro puede adoptar la forma bastante desconcertante de una pieza que aparentemente está al revés. Basta con comparar la dificultad del rompecabezas 2×2×2 con el 3×3 (que tiene el mismo número de piezas) para ver que esta capacidad de provocar giros en dimensiones superiores tiene mucho que ver con la dificultad, y por lo tanto con la satisfacción al resolver el siempre popular cubo de Rubik.

Combinaciones alcanzables:

${\displaystyle =4!\,\!=24}$

Las piezas centrales están en una orientación fija entre sí (exactamente de la misma manera que las piezas centrales del cubo estándar 3×3×3) y, por lo tanto, no figuran en el cálculo de combinaciones.

Este rompecabezas no es realmente un análogo bidimensional verdadero del cubo de Rubik. Si el grupo de operaciones en un solo politopo de un rompecabezas n -dimensional se define como cualquier rotación de un politopo ( n  – 1)-dimensional en un espacio ( n  – 1)-dimensional, entonces el tamaño del grupo,

• para el 5-cubo son rotaciones de un 4-politopo en el 4-espacio = 8×6×4 = 192,
• para el 4-cubo son rotaciones de un 3-politopo (cubo) en el 3-espacio = 6×4 = 24,
• para el 3-cubo son rotaciones de un 2-politopo (cuadrado) en el 2-espacio = 4
• para el 2-cubo son rotaciones de un 1-politopo en 1-espacio = 1

En otras palabras, el rompecabezas 2D no se puede descifrar en absoluto si se imponen las mismas restricciones a los movimientos que en el rompecabezas 3D real. Los movimientos que se le asignan al cubo mágico 2D son las operaciones de reflexión. Esta operación de reflexión se puede extender a los rompecabezas de dimensiones superiores. Para el cubo 3D, la operación análoga sería quitar una cara y reemplazarla por las pegatinas que miran hacia el cubo. Para el cubo de 4, la operación análoga es quitar un cubo y volverlo a colocar al revés.

Proyección 1D

Otro rompecabezas de dimensiones alternativas es una vista que se puede lograr en el Magic Cube 3D de David Vanderschel. Un cubo de 4 dimensiones proyectado en una pantalla de computadora 2D es un ejemplo de un tipo general de rompecabezas n -dimensional proyectado en un espacio ( n  – 2)-dimensional. El análogo 3D de esto es proyectar el cubo en una representación unidimensional, que es lo que el programa de Vanderschel es capaz de hacer.

Vanderschel lamenta que nadie haya afirmado haber resuelto la proyección 1D de este rompecabezas. ^[9] Sin embargo, dado que no se mantienen registros de este rompecabezas, es posible que no sea cierto que esté sin resolver.

Proyección unidimensional del cubo de Rubik 3x3x3 como se muestra en Magic Cube 3D.

Véase también

• Grupo del cubo de Rubik
• Lista de software para el cubo de Rubik
• Lista de juegos de cuatro dimensiones

Referencias

1. Roice Nelson, Anatomía de un cubo de Rubik de dimensión d , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
2. Eric Balandraud, Cálculo de las permutaciones de cubos mágicos 4D , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
3. Roice Nelson, MagicCube5D rompecabezas sin resolver enumerados en línea aquí y archivados el 25 de diciembre de 2008.
4. Recuento de permutaciones MC5D
5. Cubo mágico 7D
6. "Célula Mágica120".
7. David Smith, Un límite superior para el número de posiciones diferentes de la celda Magic120 completamente coloreada , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
8. David Vanderschel, "Lower-dimensional cubes", 4D Cubing Forum, 21 de agosto de 2006. "Los movimientos (reflectivos) de MC2D requerirían una tercera dimensión para implementarlos físicamente". Consultado el 4 de abril de 2009, archivado el 9 de julio de 2012.
9. Publicación de Vanderschel en el grupo 4D Cubing en Yahoo, recuperada y archivada el 25 de diciembre de 2008.

Lectura adicional

• HJ Kamack y TR Keane, The Rubik Tesseract , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
• Velleman, D, "El Tesseract de Rubik", Mathematics Magazine , vol. 65 , n.º 1 (febrero de 1992), págs. 27–36, Mathematical Association of America .
• Pickover, C, Navegando por el hiperespacio , págs. 120-122, Oxford University Press, 1999.
• Pickover, C, Alien IQ Test , Capítulo 24, Dover Publications, 2001.
• Pickover, C, El zen de los cuadrados, círculos y estrellas mágicos , pp130–133, Princeton University Press, 2001.
• David Singmaster, Computer Cubists , junio de 2001. Lista mantenida por Singmaster, que incluye referencias 4D. Consultado el 19 de junio de 2008.

Enlaces externos

• Superliminal
• Anatomía de un cubo de Rubik de dimensión d según Gravitation3d
• El cubo mágico 3D de David Vanderschel