En geometría , un rodillo desarrollable es un sólido convexo cuya superficie consiste en una única cara continua y desarrollable . [1] [2] Mientras ruedan sobre un plano , la mayoría de los rodillos desarrollables desarrollan toda su superficie de modo que todos los puntos de la superficie tocan el plano de rodadura. Todos los rodillos desarrollables tienen superficies regladas . Hasta la fecha se han descrito cuatro familias de rodillos desarrollables: los poliesfericones primarios , [ 3] las envolturas convexas de los dos rodillos de disco (envolturas convexas TDR), [4] los policones [5] [1] y los platónicos. [2] [6]
Cada familia de rodillos desarrollables se basa en un principio de construcción diferente. Los poliesfericones primarios son una subfamilia de la familia de los poliesfericones. [7] Se basan en cuerpos formados mediante la rotación de polígonos regulares alrededor de una de sus diagonales más largas . Estos cuerpos se cortan en dos en su plano de simetría y las dos mitades se reúnen después de ser rotadas en un ángulo desfasado entre sí. [5] Todos los poliesfericones primarios tienen dos aristas formadas por uno o más arcos circulares y cuatro vértices. Todos ellos, excepto el esfericones , tienen superficies que consisten en un tipo de superficie cónica y una, o más, superficies cónicas o cilíndricas truncadas . [1] Los rodillos de dos discos están formados por dos sectores circulares o elípticos simétricos congruentes . Los sectores están unidos entre sí de forma que los planos en los que se encuentran son perpendiculares entre sí y sus ejes de simetría coinciden. [4] Las envolturas convexas de estas estructuras constituyen los miembros de la familia de envolturas convexas TDR. Todos los miembros de esta familia tienen dos aristas (los dos arcos circulares o elípticos ). Pueden tener 4 vértices , como en el esfericón (que también es miembro de esta familia) o ninguno, como en el oloide . Al igual que los poliesfericones principales, los policonos se basan en polígonos regulares, pero consisten en piezas idénticas de un solo tipo de cono sin partes truncadas. El cono se crea rotando dos aristas adyacentes de un polígono regular (y en la mayoría de los casos también sus extensiones) alrededor del eje de simetría del polígono que pasa por su vértice común. Un policono basado en un n -gono (un polígono con n aristas) tiene n aristas y n + 2 vértices. El esfericón, que también es miembro de esta familia, tiene aristas circulares. Las aristas del hexágono son parabólicas . Las aristas de todos los demás polígonos son hiperbólicas . [1] Al igual que los policonos, los platónicos están hechos de un solo tipo de superficie cónica. Su característica única es que cada uno de ellos circunscribe uno de los cinco sólidos platónicos . A diferencia de las otras familias, esta familia no es infinita. Hasta la fecha se han descubierto 14 platónicos. [2]
A diferencia de los cuerpos axialmente simétricos que, si no están restringidos, pueden realizar un movimiento de rodadura lineal (como la esfera o el cilindro) o circular ( como el cono ), los rodillos desarrollables serpentean mientras ruedan. [1] Su movimiento es lineal solo en promedio. En el caso de los policones y los platónicos, así como algunos de los poliesféricos primos, la trayectoria de su centro de masa consiste en arcos circulares. En el caso de los poliesféricos primos que tienen superficies que contienen partes cilíndricas, la trayectoria es una combinación de arcos circulares y líneas rectas. Aún debe derivarse una expresión general para la forma de la trayectoria del centro de masa de las envolturas convexas TDR. [4] Para mantener un movimiento de rodadura suave, el centro de masa de un cuerpo rodante debe mantener una altura constante. Todos los poliesféricos, policones y platónicos primos y algunas de las envolturas convexas TDR comparten esta propiedad. [1] [3] Algunas de las envolturas convexas del TDR, como el oloide, no poseen esta propiedad. Para que una envoltura convexa del TDR mantenga una altura constante, debe cumplirse lo siguiente:
Donde a y b son los semiejes menor y mayor de los arcos elípticos, respectivamente, y c es la distancia entre sus centros. [4] Por ejemplo, en el caso en que la estructura esquelética del casco convexo TDR consiste en dos segmentos circulares con radio r , para que el centro de masas se mantenga a una altura constante, la distancia entre los centros de los sectores debe ser igual a r . [8]
