Suma de Borel

Borel , entonces un joven desconocido, descubrió que su método de suma daba la respuesta "correcta" para muchas series divergentes clásicas. Decidió peregrinar a Estocolmo para ver a Mittag-Leffler , quien era el reconocido señor del análisis complejo. Mittag-Leffler escuchó cortésmente lo que Borel tenía que decir y luego, colocando su mano sobre las obras completas de Weierstrass , su maestro, dijo en latín: "El Maestro lo prohíbe".

Mark Kac , citado por Reed y Simon (1978, p. 38)

En matemáticas, la suma de Borel es un método de suma para series divergentes , introducido por Émile Borel (1899). Es particularmente útil para sumar series asintóticas divergentes y, en cierto sentido, proporciona la mejor suma posible para dichas series. Existen varias variaciones de este método que también se denominan suma de Borel, y una generalización del mismo llamada suma de Mittag-Leffler .

Definición

Existen (al menos) tres métodos ligeramente diferentes llamados suma de Borel. Difieren en qué series pueden sumar, pero son consistentes, lo que significa que si dos de los métodos suman la misma serie dan la misma respuesta.

En todo momento, sea $A (z)$ una serie de potencias formales.

A(z)=\sum _ {k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},

y defina la transformada de Borel de $A$ como su serie exponencial equivalente

{\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _ {k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.

Método de suma exponencial de Borel

Sea $An (z)$ la suma $parcial$

A_{n}(z)=\sum _ {k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

Una forma débil del método de suma de Borel define la suma de Borel de $A$ como

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n }(z).

Si esto converge en $z \in C$ a alguna función $a (z)$ , decimos que la suma de Borel débil de $A$ converge en $z$ , y escribimos . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$

Método de suma integral de Borel

Supongamos que la transformada de Borel converge para todos los números reales positivos a una función que crece lo suficientemente lentamente como para que la siguiente integral esté bien definida (como una integral impropia), la suma de Borel de $A$ está dada por

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.

Si la integral converge en $z \in C$ a algún $a (z)$ , decimos que la suma de Borel de $A$ converge en $z$ , y escribimos . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$

Método de suma integral de Borel con continuación analítica

Esto es similar al método de suma integral de Borel, excepto que la transformada de Borel no necesita converger para todo $t$ , sino que converge a una función analítica de $t$ cerca de 0 que puede continuar analíticamente a lo largo del eje real positivo .

Propiedades básicas

Regularidad

Los métodos $(B)$ y $(wB)$ son métodos de suma regulares , lo que significa que siempre que $A (z)$ converge (en el sentido estándar), entonces la suma de Borel y la suma de Borel débil también convergen, y lo hacen al mismo valor. es decir

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z ^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).

La regularidad de $(B)$ se ve fácilmente mediante un cambio en el orden de integración, que es válido debido a la convergencia absoluta: si $A (z)$ es convergente en $z$ , entonces

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left (\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^ {\infty }e^{-t}\sum _ {k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt,

donde la expresión más a la derecha es exactamente la suma de Borel en $z$ .

La regularidad de $(B)$ y $(wB)$ implica que estos métodos proporcionan extensiones analíticas a $A (z)$ .

No equivalencia de Borel y suma débil de Borel

Cualquier serie $A (z)$ que sea débil Borel sumable en $z \in C$ también es Borel sumable en $z$ . Sin embargo, se pueden construir ejemplos de series que son divergentes bajo suma de Borel débil, pero que son sumables de Borel. El siguiente teorema caracteriza la equivalencia de los dos métodos.

Teorema ((Hardy 1992, 8.5)).

Sea

A (z)

una serie de potencias formal y arregle

z \in C

, entonces:

Si entonces . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$
Si y entonces . ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0,$ ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$

Relación con otros métodos de suma

$(B)$ es el caso especial de la suma de Mittag-Leffler con $α = 1$ .
$(wB)$ puede verse como el caso límite del método de suma generalizado de Euler $(E, q)$ en el sentido de que cuando $q \to \infty$ el dominio de convergencia del método $(E, q)$ converge hasta el dominio de convergencia para $(B)$ . ^[1]

Teoremas de unicidad

Siempre hay muchas funciones diferentes con cualquier expansión asintótica dada. Sin embargo, a veces existe la mejor función posible, en el sentido de que los errores en las aproximaciones de dimensión finita son lo más pequeños posible en alguna región. El teorema de Watson y el teorema de Carleman muestran que la suma de Borel produce la mejor suma posible de la serie.

teorema de watson

El teorema de Watson da condiciones para que una función sea la suma de Borel de su serie asintótica. Supongamos que $f$ es una función que cumple las siguientes condiciones:

$f$ es holomorfa en alguna región $| z | < R$ , $|arg(z)| < π /2 + ε$ para algunos $R$ y $ε$ positivos .
En esta región $f$ tiene una serie asintótica $a 0 + a 1 z + ...$ con la propiedad de que el error

|f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}|

está limitado por

C^{n+1}n!|z|^{n}

para todo $z$ en la región (para alguna constante positiva $C$ ).

Entonces el teorema de Watson dice que en esta región $f$ está dada por la suma de Borel de su serie asintótica. Más precisamente, la serie de la transformada de Borel converge en una vecindad del origen y puede continuar analíticamente hasta el eje real positivo, y la integral que define la suma de Borel converge a $f (z)$ para $z$ en la región anterior.

teorema de carleman

El teorema de Carleman muestra que una función está determinada únicamente por una serie asintótica en un sector siempre que los errores en las aproximaciones de orden finito no crezcan demasiado rápido. Más precisamente afirma que si $f$ es analítica en el interior del sector $| z | < C$ , $Re(z) > 0$ y $| f (z)| < | b norte z | n$ en esta región para todo $n$ , entonces $f$ es cero siempre que la serie $1/ b 0 + 1/ b 1 + ...$ diverja.

El teorema de Carleman proporciona un método de suma para cualquier serie asintótica cuyos términos no crezcan demasiado rápido, ya que la suma se puede definir como la función única con esta serie asintótica en un sector adecuado, si existe. La suma de Borel es ligeramente más débil que el caso especial de este cuando $b n = cn$ para alguna constante $c$ . De manera más general, se pueden definir métodos de suma ligeramente más fuertes que los de Borel tomando los números $b n$ como ligeramente más grandes, por ejemplo $b n = cn log n$ o $b n = cn log n log log n$ . En la práctica, esta generalización es de poca utilidad, ya que casi no hay ejemplos naturales de series sumables mediante este método que no puedan también sumarse mediante el método de Borel.

Ejemplo

La función $f (z) = exp(-1/ z)$ tiene la serie asintótica $0 + 0 z + ...$ con un límite de error de la forma anterior en la región $|arg(z)| < θ$ para cualquier $θ < π /2$ , pero no está dado por la suma de Borel de su serie asintótica. Esto muestra que el número $π /2$ en el teorema de Watson no puede ser reemplazado por ningún número menor (a menos que el límite del error se haga más pequeño).

Ejemplos

la serie geométrica

Considere la serie geométrica.

A(z)=\sum _ {k=0}^{\infty }z^{k},

que converge (en el sentido estándar) a $1/(1 - z)$ para $| z | < 1$ . La transformada de Borel es

{\mathcal {B}}A(tz)\equiv \sum _ {k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}= mi^{zt},

de donde obtenemos la suma de Borel

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{- t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}

que converge en la región más grande $Re(z) < 1$ , dando una continuación analítica de la serie original.

Considerando en cambio la transformada débil de Borel, las sumas parciales están dadas por $A N (z) = (1 - z N +1)/(1 - z)$ , por lo que la suma débil de Borel es

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z }}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (} e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}},

donde, nuevamente, la convergencia es en $Re(z) < 1$ . Alternativamente, esto se puede ver apelando a la parte 2 del teorema de equivalencia, ya que para $Re(z) < 1$ ,

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0.

Una serie factorial alterna

Considere la serie

A(z)=\sum _ {k=0}^{\infty }k!(-1)^{k}\cdot z^{k},

entonces $A (z)$ no converge para ningún $z \in C$ distinto de cero . La transformada de Borel es

{\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _ {k=0}^{\infty }\left(-t\right)^{k}={\frac {1}{1 +t}}

para $| t | < 1$ , que puede continuar analíticamente para todo $t$ $\geq 0$ . Entonces la suma de Borel es

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac { e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1 }{z}}\derecha)

(donde $Γ$ es la función gamma incompleta ).

Esta integral converge para todos $los z \geq 0$ , por lo que la serie divergente original es sumable por Borel para todos esos $z$ . Esta función tiene una expansión asintótica cuando $z$ tiende a 0 que viene dada por la serie divergente original. Este es un ejemplo típico del hecho de que la suma de Borel a veces sumará "correctamente" expansiones asintóticas divergentes.

De nuevo, desde

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{ -t}}{1+zt}}=0,

para todo $z$ , el teorema de equivalencia asegura que la suma débil de Borel tenga el mismo dominio de convergencia, $z \geq 0$ .

Un ejemplo en el que falla la equivalencia

El siguiente ejemplo amplía el dado en (Hardy 1992, 8.5). Considerar

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }(2\ell +2)^{k}}{(2\ell +1)!}}\right)z^{k}.

Después de cambiar el orden de la suma, la transformada de Borel viene dada por

{\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2\ell +2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\infty }e^{(2\ell +2)t}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2\ell +1}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{aligned}}

En $z = 2,$ la suma de Borel viene dada por

\int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty ,

donde $S (x)$ es la integral de Fresnel . Mediante el teorema de convergencia a lo largo de cuerdas, la integral de Borel converge para todo $z \leq 2$ (la integral diverge para $z > 2$ ).

Para la suma débil de Borel observamos que

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt})=0

es válido solo para $z < 1$ , por lo que la suma débil de Borel converge en este dominio más pequeño.

Resultados de existencia y el dominio de la convergencia.

Sumabilidad en acordes

Si una serie formal $A (z)$ es sumable por Borel en $z 0 \in C$ , entonces también es sumable por Borel en todos los puntos de la cuerda $O z 0$ que conecta $z 0$ con el origen. Además, existe una función $a (z)$ analítica en todo el disco con radio $O z 0$ tal que

{\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}}),

para todo $z = θ z 0, θ \in [0,1]$ .

Una consecuencia inmediata es que el dominio de convergencia de la suma de Borel es un dominio estrella en $C.$ Se puede decir más sobre el dominio de convergencia de la suma de Borel que el hecho de que es un dominio estelar, al que se hace referencia como polígono de Borel, y está determinado por las singularidades de la serie $A (z)$ .

El polígono de Borel

Supongamos que $A (z)$ tiene un radio de convergencia estrictamente positivo, de modo que es analítico en una región no trivial que contiene el origen, y sea $S A$ el conjunto de singularidades de $A.$ Esto significa que $P \in S A$ si y sólo si $A$ puede continuar analíticamente a lo largo de la cuerda abierta desde 0 hasta $P$ , pero no hasta $P$ mismo. Para $P \in S A$ , sea $L P$ la recta que pasa por $P$ y que es perpendicular a la cuerda $OP$ . Definir los conjuntos

\Pi _{P}=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnothing \},

el conjunto de puntos que se encuentran en el mismo lado de $L P$ que el origen. El polígono de Borel de $A$ es el conjunto

\Pi _{A}=\operatorname {cl} \left(\bigcap _{P\in S_{A}}\Pi _{P}\right).

Borel y Phragmén utilizaron una definición alternativa (Sansone y Gerretsen 1960, 8.3). Denotemos el dominio estelar más grande en el que hay una extensión analítica de $A$ , entonces es el subconjunto más grande de tal que para todo el interior del círculo con diámetro está contenido OP . Referirse al conjunto como polígono es un nombre poco apropiado, ya que no es necesario que el conjunto sea poligonal en absoluto; Sin embargo, si $A$ $($ $z$ $)$ tiene solo un número finito de singularidades, entonces será un polígono. $S\subset \mathbb {C}$ $\Pi _{A}$ $S$ $P\in \Pi _{A}$ $S$ $\Pi _{A}$ $\Pi _{A}$

El siguiente teorema, debido a Borel y Phragmén, proporciona criterios de convergencia para la suma de Borel.

Teorema (Hardy 1992, 8.8).

La serie

A (z)

(B)

sumable y es

(

B

)

divergente .

z\in \operatorname {int} (\Pi _{A})

z\in \mathbb {C} \setminus \Pi _{A}

Tenga en cuenta que $(B)$ la sumabilidad depende de la naturaleza del punto. $z\in \partial \Pi _{A}$

Ejemplo 1

Sea $ω i \in C$ la $m$ -ésima raíz de la unidad, $i = 1, ..., m$ , y considere

{\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k})z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}},\end{aligned}}

que converge en $B (0,1) \subset C$ . Visto como una función en $C$ , $A (z)$ tiene singularidades en $S A = {ω i : i = 1, ..., m}$ y, en consecuencia, el polígono de Borel está dado por el m -gon regular centrado en el origen, y tal que $1 \in$ $C$ es el punto medio de una arista. $\Pi _{A}$

Ejemplo 2

La serie formal

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{2^{k}},

converge para todos (por ejemplo, mediante la prueba de comparación con la serie geométrica). Sin embargo, se puede demostrar ^[2] que $A$ no converge para ningún punto $z$ $\in$ $C$ tal que $z$ $2$ $n$ $= 1$ para algún $n$ . Dado que el conjunto de tales $z$ es denso en el círculo unitario, no puede haber una extensión analítica de $A$ fuera de $B$ $(0,1)$ . Posteriormente, el dominio estelar más grande al que $A$ puede extenderse analíticamente es $S$ $=$ $B$ $(0,1)$ del cual (a través de la segunda definición) se obtiene . En particular se ve que el polígono de Borel no es poligonal. $|z|<1$ $\Pi _{A}=B(0,1)$

Un teorema de Tauber

Un teorema de Tauber proporciona condiciones bajo las cuales la convergencia de un método de suma implica convergencia bajo otro método. El principal teorema de Tauber ^[1] para la suma de Borel proporciona condiciones bajo las cuales el método de Borel débil implica convergencia de la serie.

Teorema (Hardy 1992, 9.13). Si

A

(wB)

sumable en

z 0 \in C

, y

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2}),\qquad \forall k\geq 0,

entonces , y la serie converge para todos

|

z

| < |

z

0

|

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

Aplicaciones

La suma de Borel encuentra aplicación en expansiones de perturbaciones en la teoría cuántica de campos. En particular, en la teoría de campos euclidianos bidimensionales, las funciones de Schwinger a menudo pueden recuperarse de sus series de perturbaciones utilizando la suma de Borel (Glimm y Jaffe 1987, p. 461). Algunas de las singularidades de la transformada de Borel están relacionadas con instantones y renormalones en la teoría cuántica de campos (Weinberg 2005, 20.7).

Generalizaciones

La suma de Borel requiere que los coeficientes no crezcan demasiado rápido: más precisamente, $¡an$ $tiene$ que estar acotado por $n! C n +1$ para algunos $C$ . Existe una variación de la suma de Borel que reemplaza a los factoriales $n!$ con $(kn)!$ para algún entero positivo $k$ , que permite la suma de algunas series con $n acotado$ por $(kn)! C n +1$ para algunos $C$ . Esta generalización viene dada por la suma de Mittag-Leffler .

En el caso más general, la suma de Borel se generaliza mediante la suma de Nachbin , que se puede utilizar cuando la función delimitadora es de algún tipo general (tipo psi), en lugar de ser de tipo exponencial .

Ver también

Notas

^ ab Hardy, GH (1992). Serie Divergente . AMS Chelsea, Rhode Island.
^ "Límite natural". MundoMatemático . Consultado el 19 de octubre de 2016 .

Referencias

Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes", Ann. Ciencia. CE. Norma. Súper. , Serie 3, 16 : 9–131, doi : 10.24033/asens.463
Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987), Física cuántica (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4728-9, ISBN 978-0-387-96476-8, señor 0887102
Hardy, Godfrey Harold (1992) [1949], Serie Divergente, Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8218-2649-2, SEÑOR 0030620
Caña, Michael; Simon, Barry (1978), Métodos de la física matemática moderna. IV. Análisis de operadores , Nueva York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, SEÑOR 0493421
Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Conferencias sobre teoría de funciones de una variable compleja. I. Funciones holomorfas , P. Noordhoff, Groningen, MR 0113988
Weinberg, Steven (2005), La teoría cuántica de campos. , vol. II, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-55002-4, señor 2148467
Zakharov, AA (2001) [1994], "Método de suma de Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press