La representación de un modelo de alta dimensión es una expansión finita para una función multivariable dada . La expansión fue descrita por primera vez por Ilya M. Sobol [1] como
El método utilizado para determinar las funciones del lado derecho se presenta en el artículo de Sobol. Se puede encontrar una reseña aquí: Representación de modelos de alta dimensión (HDMR): conceptos y aplicaciones.
La lógica subyacente detrás del HDMR es expresar todas las interacciones variables en un sistema en un orden jerárquico. Por ejemplo, representa la respuesta media del modelo . Puede considerarse como la medición de lo que queda del modelo después de eliminar todos los efectos de las variables. Las funciones univariadas , sin embargo, representan las contribuciones "individuales" de las variables. Por ejemplo, es la parte del modelo que solo puede controlarse mediante la variable . Por esta razón, no puede haber ninguna constante en porque todas las constantes se expresan en . Yendo más allá en interacciones superiores, la siguiente parada son las funciones bivariadas que representan el efecto cooperativo de las variables y juntas. Aquí se aplica una lógica similar: las funciones bivariadas no contienen funciones univariadas ni constantes, ya que viola la lógica de construcción del HDMR. A medida que avanzamos en interacciones superiores, el número de interacciones aumenta y, por último, llegamos al término residual que representa la contribución solo si todas las variables actúan juntas.
El modelo de representación jerárquica de HDMR ofrece una ventaja si se necesita reemplazar un modelo existente por uno más simple que generalmente contiene solo términos univariados o bivariados. Si el modelo de destino no contiene un nivel más alto de interacciones entre variables, este enfoque puede generar buenas aproximaciones con la ventaja adicional de brindar una visión más clara de las interacciones entre variables.
