La representación del modelo de alta dimensión es una expansión finita para una función multivariable dada . La expansión fue descrita por primera vez por Ilya M. Sobol [1] como
El método, utilizado para determinar las funciones del lado derecho, se proporciona en el artículo de Sobol. Puede encontrar una revisión aquí: Representación de modelos de alta dimensión (HDMR): conceptos y aplicaciones.
La lógica subyacente detrás del HDMR es expresar todas las interacciones variables en un sistema en un orden jerárquico. Por ejemplo, representa la respuesta media del modelo . Se puede considerar que mide lo que queda del modelo después de eliminar todos los efectos variables. Las funciones univariadas , sin embargo, representan las contribuciones "individuales" de las variables. Por ejemplo, es la parte del modelo que solo puede controlarse mediante la variable . Por esta razón no puede haber ninguna constante en porque todas las constantes se expresan en . Avanzando más en interacciones superiores, la siguiente parada son las funciones bivariadas que representan el efecto cooperativo de variables y juntas. Aquí se aplica una lógica similar: las funciones bivariadas no contienen funciones univaridas ni constantes, ya que viola la lógica de construcción de HDMR. A medida que avanzamos en interacciones más altas, el número de interacciones aumenta y finalmente alcanzamos el término residual que representa la contribución solo si todas las variables actúan juntas.
El modelo de representación jerárquica de HDMR aporta una ventaja si es necesario reemplazar un modelo existente por uno más simple que normalmente contiene sólo términos univariados o bivariados. Si el modelo objetivo no contiene un nivel más alto de interacciones de variables, este enfoque puede producir buenas aproximaciones con la ventaja adicional de proporcionar una visión más clara de las interacciones de variables.
