Flujo de boquilla isentrópica

En mecánica de fluidos , el flujo de boquilla isentrópica describe el movimiento de un fluido a través de una abertura estrecha sin un aumento de la entropía (un proceso isentrópico ).

Descripción general

Siempre que se fuerza un gas a pasar a través de un tubo, las moléculas gaseosas son desviadas por las paredes del tubo. Si la velocidad del gas es mucho menor que la velocidad del sonido , la densidad del gas permanecerá constante y la velocidad del flujo aumentará. Sin embargo, a medida que la velocidad del flujo se acerca a la velocidad del sonido, se deben considerar los efectos de compresibilidad en el gas. La densidad del gas se vuelve dependiente de la posición. Al considerar el flujo a través de un tubo, si el flujo se comprime muy gradualmente (es decir, el área disminuye) y luego se expande gradualmente (es decir, el área aumenta), las condiciones de flujo se restauran (es decir, regresan a su posición inicial). Entonces, tal proceso es un proceso reversible. Según la Segunda Ley de la Termodinámica , siempre que hay un flujo reversible y adiabático, se mantiene un valor constante de entropía. Los ingenieros clasifican este tipo de flujo como un flujo isentrópico de fluidos. Isentrópico es la combinación de la palabra griega "iso" (que significa - mismo) y entropía.

Cuando el cambio en las variables de flujo es pequeño y gradual, se producen flujos isentrópicos. La generación de ondas sonoras es un proceso isentrópico. Un flujo supersónico que se gira mientras hay un aumento en el área de flujo también es isentrópico. Como hay un aumento de área, por lo tanto, a esto lo llamamos expansión isentrópica . Si un flujo supersónico se gira abruptamente y el área de flujo disminuye, el flujo es irreversible debido a la generación de ondas de choque . Las relaciones isentrópicas ya no son válidas y el flujo se rige por las relaciones de choque oblicuas o normales .

Conjunto de ecuaciones

A continuación se presentan nueve ecuaciones que se utilizan comúnmente para evaluar las condiciones de flujo isentrópico. ^[1] Estas ecuaciones suponen que el gas es calóricamente perfecto ; es decir, la relación de calores específicos es constante en todo el rango de temperaturas. En casos típicos, la variación real es solo leve.

$M={\frac {v}{c_{s}}}$
$c_{s}={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {\gamma RT}}$
${\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\frac {p_{t}}{\rho _{t}^{\gamma }}}$
${\frac {p}{p_{t}}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{\gamma }=\left({\frac {T}{T_{t}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}$
$q={\frac {1}{2}}\rho v^{2}={\frac {1}{2}}\gamma pM^{2}$
${\frac {p}{p_{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}$
${\frac {T}{T_{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{-1}$
${\frac {\rho }{\rho _{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-1}{\gamma -1}}$
${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}({\frac {\gamma -1}{2}}\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2(\gamma -1)}}(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}$

Las propiedades sin subíndice se evalúan en el punto de interés (este punto puede elegirse en cualquier lugar a lo largo de la boquilla, pero una vez elegido, todas las propiedades en un cálculo deben evaluarse en el mismo punto)
El subíndice denota una propiedad en condiciones totales o de estancamiento . En un cohete o motor a reacción, esto significa las condiciones dentro de la cámara de combustión. Por ejemplo, es presión total/presión de estancamiento/presión de la cámara (todas equivalentes). ${\estilo de visualización t}$ $estilo de visualización p_{t}}$
${\estilo de visualización M}$ es el número de Mach local del gas
${\estilo de visualización v}$ es la velocidad del gas (m/s)
$c_{s}$ es la velocidad local del sonido a través del gas (m/s)
${\estilo de visualización \gamma}$ es la relación de calores específicos del gas
${\estilo de visualización p}$ es la presión del gas (Pa)
${\estilo de visualización \rho}$ es la densidad del gas (kg/m ³ )
${\estilo de visualización T}$ es la temperatura del gas (K)
${\estilo de visualización A}$ es el área de la sección transversal de la boquilla en el punto de interés (m ² )
${\estilo de visualización A^{*}}$ es el área de la sección transversal de la boquilla en el punto sónico, o el punto donde la velocidad del gas es Mach 1 (m ² ). Lo ideal sería que esto ocurriera en la garganta de la boquilla.

Propiedades de estancamiento

En dinámica de fluidos, un punto de estancamiento es un punto en un campo de flujo donde la velocidad local del fluido es cero. El estado de estancamiento isentrópico es el estado que alcanzaría un fluido que fluye si experimentara una desaceleración adiabática reversible hasta la velocidad cero. Existen estados de estancamiento tanto reales como isentrópicos para un gas o vapor típico. A veces es ventajoso hacer una distinción entre los estados de estancamiento reales e isentrópicos. El estado de estancamiento real es el estado alcanzado después de una desaceleración real hasta la velocidad cero (como en la punta de un cuerpo colocado en una corriente de fluido), y puede haber irreversibilidad asociada con el proceso de desaceleración. Por lo tanto, el término "propiedad de estancamiento" a veces se reserva para las propiedades asociadas con el estado real, y el término propiedad total se utiliza para el estado de estancamiento isentrópico. La entalpía es la misma para los estados de estancamiento real e isentrópico (suponiendo que el proceso real es adiabático). Por lo tanto, para un gas ideal , la temperatura de estancamiento real es la misma que la temperatura de estancamiento isentrópico. Sin embargo, la presión de estancamiento real puede ser menor que la presión de estancamiento isentrópico. Por esta razón, el término "presión total" (que significa presión de estancamiento isentrópico) tiene un significado particular en comparación con la presión de estancamiento real.

Análisis de flujo

La eficiencia isentrópica es . La variación de la densidad del fluido para flujos compresibles requiere atención a la densidad y otras relaciones de propiedades del fluido. La ecuación de estado del fluido , a menudo sin importancia para flujos incompresibles, es vital en el análisis de flujos compresibles. Además, las variaciones de temperatura para flujos compresibles suelen ser significativas y, por lo tanto, la ecuación de energía es importante. Pueden ocurrir fenómenos curiosos con flujos compresibles. ${\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2}}}$

Para simplificar, se supone que el gas es un gas ideal.
El flujo de gas es isentrópico.
El flujo de gas es constante.
El flujo de gas sigue una línea recta desde la entrada de gas hasta la salida de gas de escape.
El comportamiento del flujo de gas es compresible.

Existen numerosas aplicaciones en las que un flujo isentrópico, uniforme y constante es una buena aproximación al flujo en conductos. Entre ellas se incluyen el flujo a través de un motor a reacción , a través de la tobera de un cohete, desde una línea de gas rota y pasando por las aspas de una turbina.

m

= Número de Mach

V

= velocidad

R

= constante universal de los gases

p

= presión

k

= relación de calor específico

T

= temperatura

* = condiciones sónicas

ρ

= densidad

A

= área

M m

= masa molar

Ecuación de energía para el flujo constante: $q_{net}+h+{\frac {V^{2}}{2}}=w_{net}+h_{0}+{\frac {V_{0}^{2}}{2}}$

Para modelar tales situaciones, considere el volumen de control en el área cambiante del conducto de la Fig. La ecuación de continuidad entre dos secciones separadas por una distancia infinitesimal $dx$ es $\rho AV=(\rho +d\rho )(A+dA)(V+dV)$

Si sólo se conservan los términos de primer orden en una cantidad diferencial, la continuidad toma la forma ${\frac {dV}{V}}+{\frac {dA}{A}}+{\frac {d\rho }{\rho }}=0$

La ecuación de energía es: ${\frac {V^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}={\frac {\left(V+dV\right)^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p+dp}{\rho +d\rho }}$

Esto se simplifica, descuidando los términos de orden superior: Suponiendo un flujo isentrópico, la ecuación de energía se convierte en: Sustituya la ecuación de continuidad para obtener o, en términos del número de Mach : $VdV+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {\rho dp-pd\rho }{\rho ^{2}}}=0$ $VdV+{\frac {k\cdot p}{\rho ^{2}}}\cdot d\rho =0$ ${\frac {dV}{V}}\cdot \left({\frac {\rho V^{2}}{kp}}-1\right)={\frac {dA}{A}}$ ${\frac {dV}{V}}\cdot \left(M^{2}-1\right)={\frac {dA}{A}}$

Esta ecuación se aplica a un flujo isentrópico, uniforme y constante. Se pueden hacer varias observaciones a partir de un análisis de la ecuación (9.26): son las siguientes:

Para un flujo subsónico en un conducto en expansión ( $M < 1$ y $dA > 0$ ), el flujo se está desacelerando ( $dV < 0$ ).
Para un flujo subsónico en un conducto convergente ( $M < 1$ y $dA < 0$ ), el flujo se acelera ( $dV > 0$ ).
Para un flujo supersónico en un conducto en expansión ( $M > 1$ y $dA > 0$ ), el flujo se acelera ( $dV > 0$ ).
Para un flujo supersónico en un conducto convergente ( $M > 1$ y $dA < 0$ ), el flujo se está desacelerando ( $dV < 0$ ).
En una garganta donde $dA = 0$ , $M = 1$ o $dV = 0$ (el flujo podría estar acelerándose a través de $M = 1$ , o puede alcanzar una velocidad tal que $dV = 0$ ).

Flujo supersónico

La tobera de un flujo supersónico debe aumentar de área en la dirección del flujo, y la de un difusor debe disminuir de área, al contrario de lo que ocurre con la tobera y el difusor de un flujo subsónico. Por lo tanto, para que se desarrolle un flujo supersónico a partir de un yacimiento donde la velocidad es cero, el flujo subsónico debe acelerar primero a través de un área convergente hasta una garganta, seguido de una aceleración continua a través de un área que se agranda.

Las toberas de un cohete diseñado para colocar satélites en órbita se construyen utilizando esta geometría convergente-divergente. Las ecuaciones de energía y continuidad pueden adoptar formas especialmente útiles para el flujo isentrópico, uniforme y constante a través de la tobera. Aplique la ecuación de energía con $Q, W S = 0$ entre el depósito y alguna ubicación en la tobera para obtener $c_{p}\cdot T_{0}={\frac {V^{2}}{2}}+c_{p}\cdot T$

Cualquier cantidad con subíndice cero se refiere a un punto de estancamiento donde la velocidad es cero, como en el embalse. Mediante varias relaciones termodinámicas, las ecuaciones se pueden expresar en las formas:

${\begin{aligned}{\frac {T_{0}}{T}}&=1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\\{\frac {p_{0}}{p}}&=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k}{k-1}}\\{\frac {\rho _{0}}{\rho }}&=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {1}{k-1}}\end{aligned}}$

Si las ecuaciones anteriores se aplican en la garganta (el área crítica indicada por un asterisco (*) superíndice, donde $M = 1$ ), la ecuación de energía toma la forma

${\begin{aligned}{\frac {T^{*}}{T_{0}}}&={\frac {2}{k+1}}\\{\frac {p^{*}}{p_{0}}}&=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\frac {k}{k-1}}\\{\frac {\rho ^{*}}{\rho _{0}}}&=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\frac {1}{k-1}}\end{aligned}}$

A menudo se hace referencia al área crítica aunque no exista una garganta. Para el aire con $k = 1,4$ , las ecuaciones anteriores proporcionan ${\begin{aligned}T^{*}&=0.833333\cdot T_{0}\\p^{*}&=0.528282\cdot p_{0}\\\rho ^{*}&=0.633938\cdot \rho _{0}\end{aligned}}$

El flujo de masa a través de la boquilla es de interés y viene dado por: ${\dot {m}}=\rho AV={\frac {p}{RT}}\cdot A\cdot M{\sqrt {kR_{specific}T}}=p{\sqrt {kM_{m} \over RT}}AM$

Con el uso de la ecuación (9.28), el flujo de masa, después de aplicar algo de álgebra, se puede expresar como ${\dot {m}}=p_{0}MA{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{0}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}$

Si se selecciona el área crítica donde $M = 1$ , esto toma la forma que, cuando se combina con lo anterior, proporciona: ${\dot {m}}=p_{0}A^{*}{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{0}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}$ ${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left({\frac {k+1}{2+(k-1)\cdot M^{2}}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}$

Boquilla convergente

Considere una boquilla convergente que conecta un depósito con un receptor. Si la presión del depósito se mantiene constante y la presión del receptor se reduce, el número de Mach en la salida de la boquilla aumentará hasta que se alcance $M e = 1$ , indicado por la curva de la izquierda en la figura 2. Después de que se alcanza $M e = 1 en la salida de la boquilla para$ $p r = 0,5283 p 0$ , se produce la condición de flujo estrangulado y la velocidad a lo largo de la boquilla no puede cambiar con nuevas disminuciones en $p r$ . Esto se debe al hecho de que los cambios de presión aguas abajo de la salida no pueden viajar aguas arriba para causar cambios en las condiciones de flujo. La curva de la derecha de la figura 2. representa el caso cuando la presión del depósito aumenta y la presión del receptor se mantiene constante. Cuando $M e = 1$ , también se produce la condición de flujo estrangulado; pero la ecuación indica que el flujo de masa continuará aumentando a medida que aumenta $p 0$ . Este es el caso cuando se rompe una línea de gas.

Es interesante que la presión de salida $p e$ puede ser mayor que la presión del receptor $p r$ . La naturaleza permite esto al proporcionar a las líneas de corriente de un gas la capacidad de hacer un cambio repentino de dirección en la salida y expandirse a un área mucho mayor, lo que resulta en una reducción de la presión de $p e$ a $p r$ . El caso de una tobera convergente-divergente permite que se produzca un flujo supersónico, siempre que la presión del receptor sea suficientemente baja. Esto se muestra en la figura 3 suponiendo una presión de depósito constante con una presión del receptor decreciente. Si la presión del receptor es igual a la presión del depósito, no se produce flujo, representado por la curva A. Si $p r$ es ligeramente menor que $p 0$ , el flujo es subsónico en todo momento, con una presión mínima en la garganta, representada por la curva B. A medida que la presión se reduce aún más, se alcanza una presión que da como resultado $M = 1$ en la garganta con flujo subsónico en el resto de la tobera. Hay otra presión del receptor sustancialmente inferior a la de la curva C que también da como resultado un flujo isentrópico en toda la tobera, representado por la curva D; Después de la garganta, el flujo es supersónico. Las presiones en el receptor entre las de la curva C y la curva D dan como resultado un flujo no isentrópico (se produce una onda de choque en el flujo). Si $p r$ es inferior a la de la curva D, la presión de salida $p e$ es mayor que $p r$ . Una vez más, para presiones en el receptor inferiores a la de la curva C, el flujo másico permanece constante ya que las condiciones en la garganta permanecen inalteradas. Puede parecer que el flujo supersónico tenderá a separarse de la tobera, pero es justo lo contrario. Un flujo supersónico puede girar en ángulos muy agudos, ya que la naturaleza proporciona abanicos de expansión que no existen en los flujos subsónicos. Para evitar la separación en las toberas subsónicas, el ángulo de expansión no debe superar los 10°. Para ángulos mayores, se utilizan álabes de modo que el ángulo entre los álabes no supere los 10°.

Véase también

Referencias

^ "Ecuaciones de flujo isoentrópico". www.grc.nasa.gov . Consultado el 31 de agosto de 2023 .

Colbert, Elton J. Flujo isentrópico a través de boquillas . Universidad de Nevada, Reno . 3 de mayo de 2001. Consultado el 15 de julio de 2014.
Benson, Tom. "Isentropic Flow". NASA.gov . Administración Nacional de la Aeronáutica y del Espacio. 21 de junio de 2014. Consultado el 15 de julio de 2014.
Bar-Meir, Genick. "Isenotropic Flow". Archivado el 26 de febrero de 2015 en Wayback Machine . Potto.org . Potto Project. 21 de noviembre de 2007. Consultado el 15 de julio de 2014.