Las relaciones de Green

En matemáticas , las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia que caracterizan a los elementos de un semigrupo en términos de los principales ideales que generan. Las relaciones llevan el nombre de James Alexander Green , quien las presentó en un artículo de 1951. John Mackintosh Howie , un destacado teórico de semigrupos, describió este trabajo como "tan omnipresente que, al encontrar un nuevo semigrupo, casi la primera pregunta que uno hace es es '¿Cómo son las relaciones verdes?'" (Howie 2002). Las relaciones son útiles para comprender la naturaleza de la divisibilidad en un semigrupo; también son válidos para grupos , pero en este caso no nos dicen nada útil, porque los grupos siempre tienen divisibilidad.

En lugar de trabajar directamente con un semigrupo S , es conveniente definir las relaciones de Green sobre el monoide S ¹ . ( S ¹ es " S con una identidad adjunta si es necesario"; si S aún no es un monoide, se adjunta un nuevo elemento y se define como una identidad). Esto garantiza que los ideales principales generados por algún elemento de semigrupo contengan efectivamente ese elemento. . Para un elemento a de S , los ideales relevantes son:

• El ideal principal de izquierda generado por a : . Esto es lo mismo que , que es . ${\displaystyle S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}}$ ${\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}}$ ${\displaystyle Sa\cup \{a\}}$
• El ideal de derecho principal generado por a : , o equivalentemente . ${\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}}$ ${\displaystyle aS\cup \{a\}}$
• El principal ideal bilateral generado por a : , o . ${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$ ${\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}$

Las relaciones L, R y J

Para los elementos a y b de S , las relaciones de Green L , R y J están definidas por

• a L b si y sólo si S ¹ a = S ¹ b .
• a R b si y sólo si a S ¹ = b S ¹ .
• a J b si y sólo si S ¹ a S ¹ = S ¹ b S ¹ .

Es decir, a y b están relacionados con L si generan el mismo ideal izquierdo; R -relacionados si generan el mismo ideal correcto; y J -relacionados si generan el mismo ideal bilateral. Estas son relaciones de equivalencia en S , por lo que cada una de ellas produce una partición de S en clases de equivalencia. La clase L de a se denota por L _a (y de manera similar para las otras relaciones). Las clases L y R pueden entenderse de manera equivalente como los componentes fuertemente conectados de los gráficos de Cayley izquierdo y derecho de S ¹ . ^[1] Además, las relaciones L , R y J definen tres preórdenes ≤ _L , ≤ _R y ≤ _J , donde a ≤ _J b es válido para dos elementos a y b de S si el ideal generado por a está incluido en ese de b , es decir, S ¹ a S ¹ ⊆ S ¹ b S ¹ , y ≤ _L y ≤ _R se definen de manera análoga. ^[2]

Green usó la letra negra minúscula , y para estas relaciones, y escribió para a L b (y lo mismo para R y J ). Los matemáticos actuales tienden a utilizar letras escritas como en su lugar, y reemplazan la notación de estilo aritmético modular de Green con el estilo infijo utilizado aquí. Para las clases de equivalencia se utilizan letras ordinarias. ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle a\equiv b({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Las relaciones L y R son duales izquierda-derecha entre sí; Los teoremas relativos a uno pueden traducirse en enunciados similares sobre el otro. Por ejemplo, L es compatible a la derecha : si a L b y c es otro elemento de S , entonces ac L bc . Dualmente, R es compatible a la izquierda : si a R b , entonces ca R cb .

Si S es conmutativo, entonces L , R y J coinciden.

Las relaciones H y D

Las relaciones restantes se derivan de L y R. Su intersección es H :

a H ​​b si y sólo si a L b y a R b .

Esta también es una relación de equivalencia en S . La clase H _a es la intersección _de La _y R a . De manera más general, la intersección de cualquier clase L con cualquier clase R es una clase H o el conjunto vacío.

El teorema de Green establece que para cualquier clase H de un semigrupo S ya sea (i) o (ii) y H es un subgrupo de S. Un corolario importante es que la clase de equivalencia H _e , donde e es un idempotente , es un subgrupo de S (su identidad es e , y todos los elementos tienen inversos), y de hecho es el subgrupo más grande de S que contiene e . Ninguna clase puede contener más de un idempotente, por lo que se produce una separación de idempotentes . En un monoide M , la clase H ₁ se denomina tradicionalmente grupo de unidades . ^[3] (Tenga en cuenta que unidad no significa identidad en este contexto, es decir, en general hay elementos sin identidad en H _1. La terminología de "unidad" proviene de la teoría de anillos ). Por ejemplo, en la transformación monoide en n elementos, T _n , el grupo de unidades es el grupo simétrico S _n . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset }$ ${\displaystyle H^{2}\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Finalmente, D se define: a D b si y sólo si existe una c en S tal que a L c y c R b . En el lenguaje de las celosías , D es la unión de L y R. (La unión para relaciones de equivalencia normalmente es más difícil de definir, pero en este caso se simplifica por el hecho de que a L c y c R b para algún c si y solo si a R d y d L b para algún d .)

Como D es la relación de equivalencia más pequeña que contiene tanto L como R , sabemos que a D b implica a J b , por lo que J contiene D. En un semigrupo finito, D y J son iguales, ^[4] como también en un monoide racional . ^{[5] [ se necesita aclaración ]} Además también coinciden en cualquier epigrupo . ^[6]

También existe una formulación de D en términos de clases de equivalencia, derivada directamente de la definición anterior: ^[7]

a D b si y sólo si la intersección de R _a y L _b no está vacía.

En consecuencia, las clases D de un semigrupo pueden verse como uniones de clases L , uniones de clases R o uniones de clases H. Clifford y Preston (1961) sugieren pensar en esta situación en términos de una "caja de huevos": ^[8]

Cada fila de huevos representa una clase R y cada columna una clase L ; los huevos mismos son de clase H. Para un grupo, sólo hay un huevo, porque las cinco relaciones de Green coinciden y hacen que todos los elementos del grupo sean equivalentes. El caso opuesto, que se encuentra por ejemplo en el semigrupo bicíclico , es cuando cada elemento pertenece a una clase H propia. La caja de huevos de este semigrupo contendría una cantidad infinita de huevos, pero todos los huevos están en la misma caja porque solo hay una clase D. (Un semigrupo en el que todos los elementos están relacionados con D se llama bisimple ).

Se puede demostrar que dentro de una clase D , todas las clases H tienen el mismo tamaño. Por ejemplo, el semigrupo de transformación T ₄ contiene cuatro clases D , dentro de las cuales las clases H tienen 1, 2, 6 y 24 elementos respectivamente.

Los avances recientes en la combinatoria de semigrupos han utilizado las relaciones de Green para ayudar a enumerar semigrupos con ciertas propiedades. Un resultado típico (Satoh, Yama y Tokizawa 1994) muestra que hay exactamente 1.843.120.128 semigrupos no equivalentes de orden 8, incluidos 221.805 que son conmutativos; su trabajo se basa en una exploración sistemática de posibles clases D. (Por el contrario, sólo hay cinco grupos de orden 8 ).

Ejemplo

El semigrupo de transformación completa T ₃ consta de todas las funciones del conjunto {1, 2, 3} consigo mismo; hay 27 de estos. Escriba ( a b c ) para la función que envía 1 a a , 2 a b y 3 a c . Dado que T ₃ contiene el mapa de identidad, (1 2 3), no hay necesidad de adjuntar una identidad.

El diagrama de caja de huevos para T ₃ tiene tres clases D. También son J -clases, porque estas relaciones coinciden para un semigrupo finito.

En T ₃ , dos funciones están relacionadas con L si y sólo si tienen la misma imagen . Estas funciones aparecen en la misma columna de la tabla anterior. Asimismo, las funciones f y g están relacionadas con R si y sólo si

f ( x ) = f ( y ) ⇔ g ( x ) = g ( y )

para xey en {1 , 2, 3}; dichas funciones están en la misma fila de la tabla. En consecuencia, dos funciones están relacionadas con D si y sólo si sus imágenes son del mismo tamaño.

Los elementos en negrita son los idempotentes. Cualquier clase H que contenga uno de estos es un subgrupo (máximo). En particular, la tercera clase D es isomorfa al grupo simétrico S ₃ . También hay seis subgrupos de orden 2 y tres de orden 1 (así como subgrupos de estos subgrupos). Seis elementos de T ₃ no están en ningún subgrupo.

Generalizaciones

Básicamente, existen dos formas de generalizar una teoría algebraica. Una es cambiar sus definiciones para que cubra más o diferentes objetos; la otra manera, más sutil, es encontrar algún resultado deseable de la teoría y considerar formas alternativas de llegar a esa conclusión.

Siguiendo la primera ruta, se han definido versiones análogas de las relaciones de Green para semirings (Grillet 1970) y anillos (Petro 2002). Algunas, pero no todas, las propiedades asociadas con las relaciones en semigrupos se trasladan a estos casos. Siguiendo dentro del mundo de los semigrupos, las relaciones de Green pueden ampliarse para cubrir ideales relativos, que son subconjuntos que son sólo ideales con respecto a un subsemigrupo (Wallace 1963).

Para el segundo tipo de generalización, los investigadores se han concentrado en las propiedades de las biyecciones entre las clases L y R. Si x R y , entonces siempre es posible encontrar biyecciones entre L _x y L _y que preserven la clase R. (Es decir, si dos elementos de una clase L están en la misma clase R , entonces sus imágenes bajo una biyección seguirán estando en la misma clase R ). La afirmación dual para x L y también es válida. Estas biyecciones son traducciones hacia la derecha y hacia la izquierda, restringidas a las clases de equivalencia apropiadas. La pregunta que surge es: ¿de qué otra manera podrían existir tales biyecciones?

Supongamos que Λ y Ρ son semigrupos de transformaciones parciales de algún semigrupo S. Bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que si x Ρ = y Ρ, con x ρ ₁ = y y y ρ ₂ = x , entonces las restricciones

ρ ₁  : Λ x → Λ y

ρ ₂  : Λ y → Λ x

son biyecciones mutuamente inversas. (Convencionalmente, los argumentos se escriben a la derecha para Λ y a la izquierda para Ρ.) Entonces las relaciones L y R pueden definirse por

x L y si y sólo si Λ x = Λ y

x R y si y sólo si x Ρ = y Ρ

y D y H siguen como de costumbre. La generalización de J no es parte de este sistema, ya que no desempeña ningún papel en la propiedad deseada.

Llamamos a (Λ, Ρ) un par de Green . Hay varias opciones de semigrupo de transformación parcial que producen las relaciones originales. Un ejemplo sería tomar Λ como el semigrupo de todas las traducciones a la izquierda en S ¹ , restringido a S , y Ρ el semigrupo correspondiente de traducciones a la derecha restringidas.

Estas definiciones se deben a Clark y Carruth (1980). Incluyen el trabajo de Wallace, así como otras definiciones generalizadas propuestas a mediados de los años setenta. Es bastante largo enunciar los axiomas completos; De manera informal, los requisitos más importantes son que tanto Λ como Ρ deben contener la transformación de identidad, y que los elementos de Λ deben conmutar con elementos de Ρ.

Ver también

• grupo Schutzenberger

Referencias

1. "¿Cómo se pueden utilizar las relaciones de Green para aprender sobre un monoide?". Intercambio de pila . 19 de noviembre de 2015.
2. Johnson, Marianne; Kambites, Mark (2011). "El orden J de Green y el rango de las matrices tropicales". arXiv : 1102.2707 [matemáticas.RA].
3. Howie, pág. 171
4. Gomes, Pin y Silva (2002), pág. 94
5. Sakarovitch, Jacques (septiembre de 1987). "Multiplicaciones fáciles I. El ámbito del teorema de Kleene". Información y Computación . 74 (3): 173–197. doi :10.1016/0890-5401(87)90020-4. Zbl  0642.20043.
6. Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 28.ISBN​ 978-0-19-853577-5.
7. Lawson (2004) pág. 219
8. Lawson (2004) p. 220

• C. E. Clark and J. H. Carruth (1980) Generalized Green's theories, Semigroup Forum 20(2);  95–127.
• A. H. Clifford and G. B. Preston (1961) The Algebraic Theory of Semigroups, volume 1, (1967) volume 2, American Mathematical Society, Green's relations are introduced in Chapter 2 of the first volume.
• J. A. Green (July 1951) "On the structure of semigroups", Annals of Mathematics (second series) 54(1): 163–172.
• Grillet, Mireille P. (1970). "Green's relations in a semiring". Port. Math. 29: 181–195. Zbl 0227.16029.
• John M. Howie (1976) An introduction to Semigroup Theory, Academic Press ISBN 0-12-356950-8. An updated version is available as Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-851194-9.
• John M. Howie (2002) "Semigroups, Past, Present and Future", Proceedings of the International Conference on Algebra and its Applications, Chulalongkorn University, Thailand
• Lawson, Mark V. (2004). Finite automata. Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-255-7. Zbl 1086.68074.
• Petraq Petro (2002) Green's relations and minimal quasi-ideals in rings, Communications in Algebra 30(10): 4677–4686.
• S. Satoh, K. Yama, and M. Tokizawa (1994) "Semigroups of order 8", Semigroup Forum 49: 7–29.
• Gomes, G.M.S.; Pin, J.E.; Silva, J.E. (2002). Semigroups, algorithms, automata, and languages. Proceedings of workshops held at the International Centre of Mathematics, CIM, Coimbra, Portugal, May, June and July 2001. World Scientific. ISBN 978-981-238-099-9. Zbl 1005.00031.