Relación Hasse-Davenport

Two identities for Gauss sums

Las relaciones de Hasse-Davenport , introducidas por Davenport y Hasse  (1935), son dos identidades relacionadas para las sumas de Gauss , una llamada relación de elevación de Hasse-Davenport y la otra llamada relación de producto de Hasse-Davenport . La relación de elevación de Hasse-Davenport es una igualdad en la teoría de números que relaciona las sumas de Gauss sobre diferentes cuerpos. Weil (1949) la utilizó para calcular la función zeta de una hipersuperficie de Fermat sobre un cuerpo finito , lo que motivó las conjeturas de Weil .

Las sumas de Gauss son análogas de la función gamma sobre campos finitos, y la relación del producto Hasse-Davenport es análoga a la fórmula de multiplicación de Gauss.

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!}$

De hecho, la relación del producto Hasse-Davenport se desprende de la fórmula de multiplicación análoga para funciones gamma p -ádicas junto con la fórmula de Gross-Koblitz de Gross y Koblitz (1979).

Relación de elevación Hasse-Davenport

Sea F un campo finito con q elementos, y F _s el campo tal que [ F _s : F ] = s , es decir, s es la dimensión del espacio vectorial F _s sobre F .

Sea un elemento de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F_{s}}$

Sea un carácter multiplicativo de F a los números complejos. ${\displaystyle \chi }$

Sea la norma de a definida por ${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,}$

Sea el carácter multiplicativo sobre el cual se encuentra la composición de con la norma de F _s a F , es decir ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Sea ψ algún carácter aditivo no trivial de F , y sea el carácter aditivo en el que se encuentra la composición de con la traza de F _s a F , es decir ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Dejar

${\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)}$

sea ​​la suma de Gauss sobre F , y sea la suma de Gauss sobre . ${\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')}$ ${\displaystyle F_{s}}$

Entonces la relación de elevación de Hasse-Davenport establece que

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').}$

Relación de productos Hasse-Davenport

La relación de productos Hasse–Davenport establece que

${\displaystyle \prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )}$

donde ρ es un carácter multiplicativo de orden exacto m que divide q –1 y χ es cualquier carácter multiplicativo y ψ es un carácter aditivo no trivial.

Referencias

• Davenport, Harold; Hasse, Helmut (1935), "Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (Sobre los ceros de las funciones zeta de congruencia en algunos casos cíclicos)", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 172 : 151– 182, ISSN  0075-4102, Zbl  0010.33803
• Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), "Sumas de Gauss y la función Γ p-ádica", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 109 (3): 569–581, doi :10.2307/1971226, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971226, MR  0534763
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Springer. págs. 158-162. ISBN . 978-0-387-97329-6.
• Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en cuerpos finitos" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN  0002-9904, MR  0029393Reimpreso en Oeuvres Scientifiques/Collected Papers de André Weil ISBN 0-387-90330-5