El principio de Arquímedes (también deletreado principio de Arquímedes ) establece que la fuerza de flotación hacia arriba que se ejerce sobre un cuerpo sumergido en un fluido , ya sea total o parcialmente, es igual al peso del fluido que desplaza el cuerpo . [1] El principio de Arquímedes es una ley de la física fundamental para la mecánica de fluidos . Fue formulado por Arquímedes de Siracusa . [2]
En Sobre los cuerpos flotantes , Arquímedes sugirió que (c. 246 a. C.):
Cualquier objeto, total o parcialmente sumergido en un fluido o líquido, es impulsado por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto.
El principio de Arquímedes permite calcular la flotabilidad de cualquier objeto flotante sumergido total o parcialmente en un fluido. La fuerza hacia abajo sobre el objeto es simplemente su peso. La fuerza ascendente o de flotación sobre el objeto es la establecida por el principio de Arquímedes mencionado anteriormente. Por tanto, la fuerza neta sobre el objeto es la diferencia entre las magnitudes de la fuerza de flotación y su peso. Si esta fuerza neta es positiva, el objeto se eleva; si es negativo, el objeto se hunde; y si es cero, el objeto flota neutralmente, es decir, permanece en su lugar sin subir ni hundirse. En palabras simples, el principio de Arquímedes establece que, cuando un cuerpo se sumerge total o parcialmente en un fluido, experimenta una pérdida aparente de peso que es igual al peso del fluido desplazado por la parte sumergida del cuerpo.
Considere un cuboide sumergido en un fluido, con sus caras superior e inferior ortogonales a la dirección de la gravedad (se supone constante en todo el tramo del cubo). El fluido ejercerá una fuerza normal en cada cara, pero sólo las fuerzas normales en la parte superior e inferior contribuirán a la flotabilidad. La diferencia de presión entre la cara inferior y superior es directamente proporcional a la altura (diferencia en profundidad de inmersión). Multiplicar la diferencia de presión por el área de una cara da una fuerza neta sobre el cuboide —la flotabilidad — igual en tamaño al peso del fluido desplazado por el cuboide. Sumando un número suficiente de cuboides arbitrariamente pequeños, este razonamiento puede extenderse a formas irregulares, de modo que, cualquiera que sea la forma del cuerpo sumergido, la fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado.
El peso del fluido desplazado es directamente proporcional al volumen del fluido desplazado (si el fluido circundante tiene una densidad uniforme). El peso del objeto en el fluido se reduce debido a la fuerza que actúa sobre él, que se llama empuje hacia arriba. En términos simples, el principio establece que la fuerza de flotación (F b ) sobre un objeto es igual al peso del fluido desplazado por el objeto, o la densidad ( ρ ) del fluido multiplicada por el volumen sumergido (V) multiplicado por el gravedad (g) [1] [3]
Podemos expresar esta relación en la ecuación:
donde denota la fuerza de flotación aplicada sobre el objeto sumergido, denota la densidad del fluido, representa el volumen del fluido desplazado y es la aceleración debida a la gravedad . Así, entre objetos completamente sumergidos con masas iguales, los objetos con mayor volumen tienen mayor flotabilidad.
Supongamos que el peso de una roca se mide en 10 newtons cuando está suspendida por una cuerda en el vacío con la gravedad actuando sobre ella. Supongamos que, cuando se baja la roca al agua, desplaza agua que pesa 3 newtons. La fuerza que luego ejerce sobre la cuerda de la que cuelga sería de 10 newtons menos los 3 newtons de la fuerza de flotación: 10 − 3 = 7 newtons. La flotabilidad reduce el peso aparente de los objetos que se han hundido completamente hasta el fondo del mar. Generalmente es más fácil levantar un objeto a través del agua que sacarlo del agua.
Para un objeto completamente sumergido, el principio de Arquímedes se puede reformular de la siguiente manera:
luego insertado en el cociente de pesos, que ha sido ampliado por el volumen mutuo
produce la siguiente fórmula. La densidad del objeto sumergido en relación con la densidad del fluido se puede calcular fácilmente sin medir ningún volumen.
(Esta fórmula se utiliza, por ejemplo, para describir el principio de medición de un dasímetro y del pesaje hidrostático ).
Ejemplo: si dejas caer madera al agua, la flotabilidad la mantendrá a flote.
Ejemplo: un globo de helio en un coche en marcha. Al aumentar la velocidad o tomar una curva, el aire se mueve en dirección opuesta a la aceleración del coche. Sin embargo, debido a la flotabilidad, el aire empuja el globo "fuera del camino" y se desplazará en la misma dirección que la aceleración del automóvil.
Cuando un objeto se sumerge en un líquido, el líquido ejerce una fuerza hacia arriba, conocida como fuerza de flotación, que es proporcional al peso del líquido desplazado. La suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto, entonces, es igual a la diferencia entre el peso del objeto (fuerza 'hacia abajo') y el peso del líquido desplazado (fuerza 'arriba'). El equilibrio, o flotabilidad neutra, se logra cuando estos dos pesos (y por tanto fuerzas) son iguales.
La ecuación para calcular la presión dentro de un fluido en equilibrio es:
donde f es la densidad de fuerza ejercida por algún campo externo sobre el fluido y σ es el tensor de tensión de Cauchy . En este caso el tensor de tensión es proporcional al tensor de identidad:
Aquí δ ij es el delta de Kronecker . Usando esto, la ecuación anterior se convierte en:
Suponiendo que el campo de fuerza exterior es conservador, es decir, se puede escribir como el gradiente negativo de alguna función escalar:
Entonces:
Por lo tanto, la forma de la superficie abierta de un fluido es igual al plano equipotencial del campo de fuerza conservativo exterior aplicado. Deje que el eje z apunte hacia abajo. En este caso el campo es la gravedad, entonces Φ = − ρ f gz donde g es la aceleración gravitacional, ρ f es la densidad de masa del fluido. Tomando la presión como cero en la superficie, donde z es cero, la constante será cero, por lo que la presión dentro del fluido, cuando está sujeto a la gravedad, es
Entonces, la presión aumenta con la profundidad debajo de la superficie de un líquido, ya que z denota la distancia desde la superficie del líquido hasta ella. Cualquier objeto con una profundidad vertical distinta de cero tendrá diferentes presiones en la parte superior e inferior, siendo mayor la presión en la parte inferior. Esta diferencia de presión provoca la fuerza de flotabilidad hacia arriba.
La fuerza de flotación ejercida sobre un cuerpo ahora se puede calcular fácilmente, ya que se conoce la presión interna del fluido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo se puede calcular integrando el tensor de tensiones sobre la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido:
La integral de superficie se puede transformar en una integral de volumen con la ayuda del teorema de Gauss :
donde V es la medida del volumen en contacto con el fluido, es decir el volumen de la parte sumergida del cuerpo, ya que el fluido no ejerce fuerza sobre la parte del cuerpo que está fuera de él.
La magnitud de la fuerza de flotación se puede apreciar un poco más a partir del siguiente argumento. Considere cualquier objeto de forma arbitraria y volumen V rodeado por un líquido. La fuerza que ejerce el líquido sobre un objeto dentro del líquido es igual al peso del líquido con un volumen igual al del objeto. Esta fuerza se aplica en dirección opuesta a la fuerza gravitacional, es decir de magnitud:
donde ρ f es la densidad del fluido, V disp es el volumen del cuerpo de líquido desplazado y g es la aceleración gravitacional en el lugar en cuestión.
Si este volumen de líquido se reemplaza por un cuerpo sólido de exactamente la misma forma, la fuerza que el líquido ejerce sobre él debe ser exactamente la misma que la anterior. En otras palabras, la "fuerza de flotación" sobre un cuerpo sumergido se dirige en dirección opuesta a la gravedad y es igual en magnitud a
La fuerza neta sobre el objeto debe ser cero si se trata de una situación de estática de fluidos tal que el principio de Arquímedes sea aplicable y, por lo tanto, es la suma de la fuerza de flotación y el peso del objeto.
Si la flotabilidad de un objeto (sin restricciones y sin motor) excede su peso, tiende a elevarse. Un objeto cuyo peso excede su flotabilidad tiende a hundirse. El cálculo de la fuerza hacia arriba sobre un objeto sumergido durante su período de aceleración no se puede realizar únicamente mediante el principio de Arquímedes; es necesario considerar la dinámica de un objeto que implica flotabilidad. Una vez que se hunde completamente en el fondo del fluido o sube a la superficie y se asienta, el principio de Arquímedes se puede aplicar solo. Para un objeto flotante, sólo el volumen sumergido desplaza el agua. Para un objeto hundido, todo el volumen desplaza el agua y habrá una fuerza de reacción adicional del piso sólido.
Para que se pueda utilizar solo el principio de Arquímedes, el objeto en cuestión debe estar en equilibrio (la suma de las fuerzas sobre el objeto debe ser cero), por lo tanto;
y por lo tanto
mostrando que la profundidad a la que se hundirá un objeto flotante y el volumen de fluido que desplazará es independiente del campo gravitacional , independientemente de la ubicación geográfica.
Puede darse el caso de que entren en juego fuerzas distintas a la flotabilidad y la gravedad. Este es el caso si el objeto está sujeto o si el objeto se hunde hasta el suelo sólido. Un objeto que tiende a flotar requiere una fuerza de restricción de tensión T para permanecer completamente sumergido. Un objeto que tiende a hundirse eventualmente tendrá una fuerza normal de restricción N ejercida sobre él por el piso sólido. La fuerza de restricción puede ser la tensión en una báscula de resorte que mide su peso en el fluido, y así se define el peso aparente.
Si el objeto flotara, la tensión para mantenerlo completamente sumergido es:
Cuando un objeto que se hunde se posa sobre el suelo sólido, experimenta una fuerza normal de:
Otra posible fórmula para calcular la flotabilidad de un objeto es encontrar el peso aparente de ese objeto en particular en el aire (calculado en Newtons) y el peso aparente de ese objeto en el agua (en Newtons). Para encontrar la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto cuando está en el aire, utilizando esta información particular, se aplica esta fórmula:
El resultado final se mediría en Newtons.
La densidad del aire es muy pequeña en comparación con la mayoría de los sólidos y líquidos. Por esta razón, el peso de un objeto en el aire es aproximadamente el mismo que su peso real en el vacío. La flotabilidad del aire se desprecia para la mayoría de los objetos durante una medición en el aire porque el error suele ser insignificante (normalmente menos del 0,1%, excepto en el caso de objetos de densidad media muy baja, como un globo o espuma ligera).
Una explicación simplificada para la integración de la presión sobre el área de contacto se puede expresar de la siguiente manera:
Considere un cubo sumergido en un fluido con la superficie superior horizontal.
Los lados son idénticos en área y tienen la misma distribución de profundidad, por lo tanto también tienen la misma distribución de presión y, en consecuencia, la misma fuerza total resultante de la presión hidrostática, ejercida perpendicular al plano de la superficie de cada lado.
Hay dos pares de lados opuestos, por lo tanto, las fuerzas horizontales resultantes se equilibran en ambas direcciones ortogonales y la fuerza resultante es cero.
La fuerza hacia arriba sobre el cubo es la presión sobre la superficie inferior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie horizontal del fondo del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie del fondo.
De manera similar, la fuerza hacia abajo sobre el cubo es la presión sobre la superficie superior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie superior horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie superior.
Como se trata de un cubo, las superficies superior e inferior son idénticas en forma y área, y la diferencia de presión entre la parte superior e inferior del cubo es directamente proporcional a la diferencia de profundidad, y la diferencia de fuerza resultante es exactamente igual al peso de el fluido que ocuparía el volumen del cubo en su ausencia.
Esto significa que la fuerza resultante hacia arriba sobre el cubo es igual al peso del fluido que cabría en el volumen del cubo, y la fuerza hacia abajo sobre el cubo es su peso, en ausencia de fuerzas externas.
Esta analogía es válida para variaciones en el tamaño del cubo.
Si se colocan dos cubos uno al lado del otro con una cara de cada uno en contacto, las presiones y las fuerzas resultantes en los lados o partes de los mismos en contacto están equilibradas y pueden ignorarse, ya que las superficies de contacto son iguales en forma, tamaño y distribución de presión. por lo tanto, la flotabilidad de dos cubos en contacto es la suma de las flotabilidades de cada cubo. Esta analogía se puede extender a un número arbitrario de cubos.
Un objeto de cualquier forma se puede aproximar como un grupo de cubos en contacto entre sí y, a medida que disminuye el tamaño del cubo, aumenta la precisión de la aproximación. El caso límite para cubos infinitamente pequeños es la equivalencia exacta.
Las superficies en ángulo no anulan la analogía, ya que la fuerza resultante se puede dividir en componentes ortogonales y tratar cada una de ellas de la misma manera.
El principio de Arquímedes no considera la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo. [4] Además, se ha descubierto que el principio de Arquímedes se descompone en fluidos complejos . [5]
Existe una excepción al principio de Arquímedes conocida como caso inferior (o lateral). Esto ocurre cuando un lado del objeto toca el fondo (o el costado) del recipiente en el que está sumergido y no se filtra líquido por ese lado. En este caso, se ha descubierto que la fuerza neta es diferente del principio de Arquímedes, debido a que como no se filtra ningún fluido por ese lado, se rompe la simetría de la presión. [6]
El principio de Arquímedes muestra la fuerza de flotación y el desplazamiento del fluido. Sin embargo, el concepto del principio de Arquímedes se puede aplicar al considerar por qué los objetos flotan. La proposición 5 del tratado de Arquímedes Sobre los cuerpos flotantes establece que
Cualquier objeto flotante desplaza su propio peso de líquido.
— Arquímedes de Siracusa [7]
En otras palabras, para un objeto que flota sobre una superficie líquida (como un barco) o que flota sumergido en un fluido (como un submarino en el agua o un dirigible en el aire), el peso del líquido desplazado es igual al peso del objeto. Por lo tanto, sólo en el caso especial de flotar la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto es igual al peso del objeto. Considere un bloque de hierro sólido de 1 tonelada. Como el hierro es casi ocho veces más denso que el agua, cuando se sumerge sólo desplaza 1/8 de tonelada de agua, lo que no es suficiente para mantenerlo a flote. Supongamos que al mismo bloque de hierro se le da forma de cuenco. Todavía pesa 1 tonelada, pero cuando se mete en agua desplaza un volumen de agua mayor que cuando era un bloque. Cuanto más se sumerge el cuenco de hierro, más agua desplaza y mayor es la fuerza de flotación que actúa sobre él. Cuando la fuerza de flotación sea igual a 1 tonelada, no se hundirá más.
Cuando un barco desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. A esto se le suele llamar el "principio de flotación": un objeto flotante desplaza un peso de fluido igual a su propio peso. Cada barco, submarino y dirigible debe estar diseñado para desplazar un peso de fluido al menos igual a su propio peso. El casco de un barco de 10.000 toneladas debe construirse lo suficientemente ancho, largo y profundo para desplazar 10.000 toneladas de agua y aún tener algo de casco sobre el agua para evitar que se hunda. Necesita casco adicional para luchar contra las olas que, de otro modo, lo llenarían y, al aumentar su masa, lo sumergirían. Lo mismo ocurre con los buques en el aire: un dirigible que pesa 100 toneladas necesita desplazar 100 toneladas de aire. Si se desplaza más, sube; si se desplaza menos, cae. Si el dirigible desplaza exactamente su peso, flota a una altitud constante.
Si bien están relacionados con él, el principio de flotación y el concepto de que un objeto sumergido desplaza un volumen de fluido igual a su propio volumen no son el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes, como se indicó anteriormente, equipara la fuerza de flotación con el peso del fluido desplazado.
Un punto común de confusión [ ¿por quién? ] respecto al principio de Arquímedes es el significado de volumen desplazado. Las demostraciones comunes implican medir el aumento del nivel del agua cuando un objeto flota en la superficie para calcular el agua desplazada. Este método de medición falla con un objeto flotante sumergido porque el aumento en el nivel del agua está directamente relacionado con el volumen del objeto y no con la masa (excepto si la densidad efectiva del objeto es exactamente igual a la densidad del fluido). [8] [9] [10]
Se dice que Arquímedes exclamó "Eureka" después de descubrir cómo detectar si una corona está hecha de oro impuro. Si bien no utilizó el principio de Arquímedes en el cuento tan difundido y utilizó agua desplazada sólo para medir el volumen de la corona, existe un método alternativo que utiliza el principio: equilibrar la corona y el oro puro en una balanza en el aire y luego colocar la corona en el aire. escala en el agua. Según el principio de Arquímedes, si la densidad de la corona difiere de la densidad del oro puro, la balanza se desequilibrará bajo el agua. [11] [12]
{{cite journal}}: CS1 maint: unfit URL (link)Cualquier sólido más ligero que un fluido, si se coloca en el fluido, quedará tan sumergido que el peso del sólido será igual al peso del fluido desplazado.
Medios relacionados con el principio de Arquímedes en Wikimedia Commons