Relación Hasse-Davenport

Two identities for Gauss sums

Las relaciones de Hasse-Davenport , introducidas por Davenport y Hasse  (1935), son dos identidades relacionadas para sumas de Gauss , una llamada relación de elevación de Hasse-Davenport y la otra llamada relación de producto de Hasse-Davenport . La relación de elevación de Hasse-Davenport es una igualdad en la teoría de números que relaciona sumas de Gauss en diferentes campos. Weil (1949) lo utilizó para calcular la función zeta de una hipersuperficie de Fermat sobre un campo finito , lo que motivó las conjeturas de Weil .

Las sumas de Gauss son análogas a la función gamma sobre campos finitos, y la relación de productos de Hasse-Davenport es análoga a la fórmula de multiplicación de Gauss.

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!}$

De hecho, la relación de producto de Hasse-Davenport se deriva de la fórmula de multiplicación análoga para funciones gamma p -ádicas junto con la fórmula de Gross-Koblitz de Gross y Koblitz (1979).

Relación de elevación Hasse-Davenport

Sea F un campo finito con q elementos, y F _s el campo tal que [ F _s : F ] = s , es decir, s es la dimensión del espacio vectorial F _s sobre F .

Sea un elemento de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F_{s}}$

Sea un carácter multiplicativo de F a los números complejos. ${\displaystyle \chi }$

Sea la norma desde hasta definida por ${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,}$

Sea el carácter multiplicativo sobre el cual está la composición de con la norma de F _s a F , es decir ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Sea ψ algún carácter aditivo no trivial de F , y sea el carácter aditivo en el que está la composición de con la traza de F _s a F , es decir ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Dejar

${\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)}$

Sea la suma de Gauss sobre F , y sea la suma de Gauss sobre . ${\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')}$ ${\displaystyle F_{s}}$

Entonces, la relación de levantamiento Hasse-Davenport establece que

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').}$

Relación de producto Hasse-Davenport

La relación de producto Hasse-Davenport establece que

${\displaystyle \prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )}$

donde ρ es un carácter multiplicativo de orden exacto m que divide q –1 y χ es cualquier carácter multiplicativo y ψ es un carácter aditivo no trivial.

Referencias

• Davenport, Harold; Hasse, Helmut (1935), "Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (Sobre los ceros de las funciones zeta de congruencia en algunos casos cíclicos)", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 172 : 151– 182, ISSN  0075-4102, Zbl  0010.33803
• Bruto, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), "Las sumas de Gauss y la función Γ p-ádica", Annals of Mathematics , Segunda serie, 109 (3): 569–581, doi :10.2307/1971226, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971226, Señor  0534763
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Saltador. págs. 158-162. ISBN 978-0-387-97329-6.
• Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en campos finitos" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN  0002-9904, SEÑOR  0029393Reimpreso en Oeuvres Scientifiques/Collected Papers de André Weil ISBN 0-387-90330-5