Paralelogramo de fuerza

Método en física

Figura 1: Construcción en paralelogramo para sumar vectores. Esta construcción tiene el mismo resultado que mover F ₂ de manera que su cola coincida con la cabeza de F ₁ y tomar la fuerza neta como el vector que une la cola de F ₁ con la cabeza de F ₂ . Este procedimiento se puede repetir para sumar F ₃ a la resultante F ₁ + F ₂ , y así sucesivamente.

El paralelogramo de fuerzas es un método para resolver (o visualizar) los resultados de aplicar dos fuerzas a un objeto. Cuando intervienen más de dos fuerzas, la geometría ya no es un paralelogramo , sino que se aplican los mismos principios a un polígono de fuerzas . La fuerza resultante debido a la aplicación de varias fuerzas se puede encontrar geométricamente dibujando flechas para cada fuerza. El paralelogramo de fuerzas es una manifestación gráfica de la suma de vectores .

Prueba de Newton

Figura 2: Paralelogramo de velocidad

Preliminar: el paralelogramo de velocidad

Supongamos que una partícula se mueve a una velocidad uniforme a lo largo de una línea desde A hasta B (Figura 2) en un tiempo determinado (digamos, un segundo ), mientras que en el mismo tiempo, la línea AB se mueve uniformemente desde su posición en AB hasta una posición en DC, permaneciendo paralela a su orientación original durante todo el tiempo. Teniendo en cuenta ambos movimientos, la partícula traza la línea AC. Debido a que un desplazamiento en un tiempo determinado es una medida de velocidad , la longitud de AB es una medida de la velocidad de la partícula a lo largo de AB, la longitud de AD es una medida de la velocidad de la línea a lo largo de AD, y la longitud de AC es una medida de la velocidad de la partícula a lo largo de AC. El movimiento de la partícula es el mismo que si se hubiera movido con una sola velocidad a lo largo de AC. ^[1]

Prueba de Newton del paralelogramo de fuerza

Supongamos que dos fuerzas actúan sobre una partícula en el origen (las "colas" de los vectores ) de la Figura 1. Sean las longitudes de los vectores F ₁ y F ₂ las velocidades que las dos fuerzas podrían producir en la partícula al actuar durante un tiempo dado, y sea la dirección de cada una la dirección en la que actúan. Cada fuerza actúa independientemente y producirá su velocidad particular independientemente de que actúe la otra fuerza o no. Al final del tiempo dado, la partícula tiene ambas velocidades. Por la prueba anterior, son equivalentes a una sola velocidad, F _neta . Por la segunda ley de Newton , este vector también es una medida de la fuerza que produciría esa velocidad, por lo que las dos fuerzas son equivalentes a una sola fuerza. ^[2]

Si utilizamos un paralelogramo para sumar las fuerzas que actúan sobre una partícula en una pendiente suave, descubrimos, como era de esperar, que la fuerza resultante (flecha de dos puntas) actúa hacia abajo de la pendiente, lo que hará que la partícula se acelere en esa dirección.

Prueba de Bernoulli para vectores perpendiculares

Modelamos las fuerzas como vectores euclidianos o miembros de . Nuestra primera suposición es que la resultante de dos fuerzas es de hecho otra fuerza, de modo que para dos fuerzas cualesquiera hay otra fuerza . Nuestra suposición final es que la resultante de dos fuerzas no cambia cuando se rota. Si es cualquier rotación (cualquier mapa ortogonal para la estructura de espacio vectorial habitual de con ), entonces para todas las fuerzas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \det R=1}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)}$$

Consideremos dos fuerzas perpendiculares de longitud y de longitud , siendo la longitud de . Sea y , donde es la rotación entre y , por lo que . Bajo la invariancia de la rotación, obtenemos ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}}$$

De manera similar, considere dos fuerzas más y . Sea la rotación de a : , que por inspección hace . ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} }$$

Aplicando estas dos ecuaciones

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}}$$

Dado que y ambos se encuentran a lo largo de , sus longitudes son iguales ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle x=\left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}}$

$${\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$

lo que implica que tiene una longitud , que es la longitud de . Por lo tanto, para el caso en el que y son perpendiculares, . Sin embargo, al combinar nuestros dos conjuntos de fuerzas auxiliares usamos la asociatividad de . Usando este supuesto adicional, formularemos una prueba adicional a continuación. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle \oplus }$

Prueba algebraica del paralelogramo de fuerza

Modelamos las fuerzas como vectores euclidianos o miembros de . Nuestra primera suposición es que la resultante de dos fuerzas es, de hecho, otra fuerza, de modo que para dos fuerzas cualesquiera existe otra fuerza . Suponemos conmutatividad, ya que se trata de fuerzas que se aplican simultáneamente, por lo que el orden no debería importar . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} }$

Considere el mapa $${\displaystyle (a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$$

Si es asociativo, entonces este mapa será lineal. Dado que también envía a y a , también debe ser el mapa identidad. Por lo tanto, debe ser equivalente al operador de suma vectorial normal. ^{[3] [5]} ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \oplus }$

Controversia

La prueba matemática del paralelogramo de fuerza no se acepta generalmente como matemáticamente válida. Se desarrollaron varias pruebas (principalmente las de Duchayla y Poisson ), y también éstas provocaron objeciones. No se cuestionó que el paralelogramo de fuerza fuera verdadero, sino por qué lo era. Hoy en día, el paralelogramo de fuerza se acepta como un hecho empírico, no reducible a los primeros principios de Newton. ^{[3] [6]}

Véase también

• Principios matemáticos de la filosofía natural de Newton, Axiomas o leyes del movimiento, Corolario I, en Wikisource
• Vector (geométrico)
• Fuerza neta

Referencias

1. Routh, Edward John (1896). Tratado sobre estática analítica. Cambridge University Press. pág. 6., en Google libros
2. Routh (1896), pág. 14
3. Spivak, Michael (2010). Mecánica I. Física para matemáticos. Publish or Perish, Inc., págs. 278-282. ISBN 978-0-914098-32-4.
4. Bernoulli, Daniel (1728). Examen principiorum Mechanicalae et demostraciones geométricas de composición y resolución virium .
5. Mach, Ernest (1974). La ciencia de la mecánica . Open Court Publishing Co., págs. 55-57.
6. Lange, Marc (2009). "Una historia de dos vectores" (PDF) . Dialectica, 63. Págs. 397–431.