Regla trapezoidal

Método de integración numérica

La función f ( x ) (en azul) se aproxima mediante una función lineal (en rojo).

En cálculo , la regla trapezoidal (también conocida como regla del trapezoide o regla del trapecio ) ^[a] es una técnica de integración numérica , es decir, de aproximación de la integral definida : $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

La regla del trapezoide funciona aproximando la región bajo el gráfico de la función como un trapezoide y calculando su área. De ello se deduce que ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).}$$

Una animación que muestra qué es la regla trapezoidal y cómo el error de aproximación disminuye a medida que disminuye el tamaño del paso.

La regla trapezoidal puede verse como el resultado obtenido al promediar las sumas de Riemann izquierda y derecha , y a veces se define de esta manera. La integral puede aproximarse incluso mejor particionado el intervalo de integración , aplicando la regla trapezoidal a cada subintervalo y sumando los resultados. En la práctica, esta regla trapezoidal "encadenada" (o "compuesta") es normalmente lo que se entiende por "integración con la regla trapezoidal". Sea una partición de tal que y sea la longitud del -ésimo subintervalo (es decir, ), entonces Cuando la partición tiene un espaciado regular, como suele ser el caso, es decir, cuando todos los tienen el mismo valor , la fórmula se puede simplificar para la eficiencia del cálculo factorizando :. ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}$$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ${\displaystyle \Delta x,}$ ${\displaystyle \Delta x}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).}$$

La aproximación se vuelve más precisa a medida que aumenta la resolución de la partición (es decir, para valores mayores , todos disminuyen). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$

Como se analiza a continuación, también es posible establecer límites de error en la precisión del valor de una integral definida estimada utilizando una regla trapezoidal.

Ilustración de una "regla trapezoidal encadenada" utilizada en una partición espaciada irregularmente de . ${\displaystyle [a,b]}$

Historia

Un artículo científico de 2016 informa que la regla del trapezoide se utilizaba en Babilonia antes del año 50 a. C. para integrar la velocidad de Júpiter a lo largo de la eclíptica . ^[1]

Implementación numérica

Cuadrícula no uniforme

Cuando el espaciado de la cuadrícula no es uniforme, se puede utilizar la fórmula donde $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},}$$ ${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.}$

Cuadrícula uniforme

Para un dominio discretizado en paneles igualmente espaciados, puede ocurrir una simplificación considerable. Supongamos que la aproximación a la integral se convierte en ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left({\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).\end{aligned}}}$$

Análisis de errores

Animación que muestra cómo la aproximación de la regla trapezoidal mejora con más franjas para un intervalo con y . A medida que aumenta el número de intervalos , también aumenta la precisión del resultado. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=8}$ ${\displaystyle N}$

El error de la regla trapezoidal compuesta es la diferencia entre el valor de la integral y el resultado numérico: $${\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}$$

Existe un número ξ entre a y b , tal que ^[2] $${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}$$

De ello se deduce que si el integrando es cóncavo hacia arriba (y por tanto tiene una segunda derivada positiva), entonces el error es negativo y la regla trapezoidal sobreestima el valor verdadero. Esto también se puede ver en la imagen geométrica: los trapecios incluyen toda el área bajo la curva y se extienden sobre ella. De manera similar, una función cóncava hacia abajo produce una subestimación porque no se tiene en cuenta el área debajo de la curva, pero no se tiene en cuenta ninguna área por encima. Si el intervalo de la integral que se está aproximando incluye un punto de inflexión, el signo del error es más difícil de identificar.

Una estimación de error asintótico para N → ∞ se da mediante La fórmula de suma de Euler-Maclaurin proporciona otros términos en esta estimación de error. $${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}$$

Se pueden utilizar varias técnicas para analizar el error, entre ellas: ^[3]

1. Serie de Fourier
2. Cálculo de residuos
3. Fórmula de suma de Euler-Maclaurin ^{[4] [5]}
4. Interpolación polinómica ^[6]

Se argumenta que la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal refleja y puede utilizarse como definición de clases de suavidad de las funciones. ^[7]

Prueba

Supongamos primero que y . Sea la función tal que es el error de la regla del trapezoide en uno de los intervalos, . Entonces y ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$ ${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$ $${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}$$ ${\displaystyle |g_{k}(h)|}$ ${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}$ $${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$$ $${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$$

Supongamos ahora que lo que se cumple si es suficientemente suave. Entonces se sigue que lo que es equivalente a , o ${\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )}$$ ${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$ ${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

Desde y , y ${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$ ${\displaystyle g_{k}(0)=0}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$$

Utilizando estos resultados, encontramos y $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$$

Dejándonos encontrar ${\displaystyle t=h}$ $${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$$

Sumando todos los términos de error locales encontramos $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$$

Pero también tenemos y $${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$$

de modo que

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$$

Por lo tanto, el error total está limitado por

$${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$$

Funciones periódicas y de pico

La regla del trapezoide converge rápidamente para funciones periódicas. Esta es una consecuencia fácil de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin , que dice que si es 100 veces continuamente diferenciable con período donde y es la extensión periódica del ésimo polinomio de Bernoulli. ^[8] Debido a la periodicidad, las derivadas en el punto final se cancelan y vemos que el error es . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx}$$ ${\displaystyle h:=T/N}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p})}$

Un efecto similar está disponible para funciones de tipo pico, como Gaussiana , Gaussiana modificada exponencialmente y otras funciones con derivadas en límites de integración que pueden descuidarse. ^[9] La evaluación de la integral completa de una función Gaussiana por regla trapezoidal con 1% de precisión se puede hacer usando solo 4 puntos. ^[10] La regla de Simpson requiere 1,8 veces más puntos para lograr la misma precisión. ^{[10] [11]}

Aunque se ha hecho algún esfuerzo para extender la fórmula de suma de Euler-Maclaurin a dimensiones superiores, ^[12] la prueba más directa de la convergencia rápida de la regla trapezoidal en dimensiones superiores es reducir el problema al de la convergencia de las series de Fourier. Esta línea de razonamiento muestra que si es periódica en un espacio dimensional con derivadas continuas, la velocidad de convergencia es . Para dimensiones muy grandes, la muestra que la integración de Montecarlo es probablemente una mejor opción, pero para 2 y 3 dimensiones, el muestreo equiespaciado es eficiente. Esto se explota en la física computacional del estado sólido, donde el muestreo equiespaciado sobre celdas primitivas en la red recíproca se conoce como integración de Monkhorst-Pack . ^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p/d})}$

Funciones "aproximadas"

Para funciones que no están en C 2 , el límite de error dado anteriormente no es aplicable. Aun así, se pueden derivar límites de error para tales funciones aproximadas, que normalmente muestran una convergencia más lenta con el número de evaluaciones de la función que el comportamiento dado anteriormente. Curiosamente, en este caso la regla trapezoidal a menudo tiene límites más precisos que la regla de Simpson para el mismo número de evaluaciones de la función. ^[14] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

Aplicabilidad y alternativas

La regla del trapezoide es una de las fórmulas de integración numérica de la familia de fórmulas de Newton-Cotes , de las cuales la regla del punto medio es similar a la regla del trapezoide. La regla de Simpson es otro miembro de la misma familia y, en general, tiene una convergencia más rápida que la regla del trapezoide para funciones que son dos veces continuamente diferenciables, aunque no en todos los casos específicos. Sin embargo, para varias clases de funciones más ásperas (aquellas con condiciones de suavidad más débiles), la regla del trapezoide tiene una convergencia más rápida en general que la regla de Simpson. ^[14]

Además, la regla trapezoidal tiende a volverse extremadamente precisa cuando las funciones periódicas se integran a lo largo de sus períodos, que pueden analizarse de varias maneras. ^{[7] [11]} Un efecto similar está disponible para las funciones pico. ^{[10] [11]}

Sin embargo, para funciones no periódicas, los métodos con puntos desigualmente espaciados, como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis, son generalmente mucho más precisos; la cuadratura de Clenshaw-Curtis puede verse como un cambio de variables para expresar integrales arbitrarias en términos de integrales periódicas, punto en el cual la regla trapezoidal puede aplicarse con precisión.

Ejemplo

Se da la siguiente integral: $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}}$$

1.  Utilice la regla del trapezoide compuesto para estimar el valor de esta integral. Utilice tres segmentos.
2.  Encuentra el error verdadero para la parte (a). ${\textstyle E_{t}}$
3.  Encuentre el error verdadero relativo absoluto para la parte (a). ${\textstyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$

Solución

1. La solución que utiliza la regla trapezoidal compuesta con 3 segmentos se aplica de la siguiente manera.

   $${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack }$$

   $${\displaystyle {\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}}$$

   Utilizando la fórmula de la regla trapezoidal compuesta $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}}$$

   $${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}}$$
2. El valor exacto de la integral anterior se puede encontrar mediante la integración por partes y es Entonces el error verdadero es $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}}$$
3. El error verdadero relativo absoluto es $${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}}$$

Véase también

• Cuadratura gaussiana
• Fórmulas de Newton-Cotes
• Método del rectángulo
• El método de Romberg
• La regla de Simpson
• Ecuación integral de Volterra § Solución numérica usando la regla del trapezoide

Notas

1. Consulte Trapezoide para obtener más información sobre la terminología.

1. Ossendrijver, Mathieu (29 de enero de 2016). "Los antiguos astrónomos babilónicos calcularon la posición de Júpiter a partir del área bajo un gráfico de velocidad-tiempo". Science . 351 (6272): 482–484. doi :10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
2. Atkinson (1989, ecuación (5.1.7))
3. (Weideman 2002, p.23, sección 2)
4. Atkinson (1989, ecuación (5.1.9))
5. Atkinson (1989, pág. 285)
6. Carga y ferias (2011, p.194)
7. (Rahman y Schmeisser 1990)
8. Kress, Rainer (1998). Análisis numérico, volumen 181 de Textos de posgrado en matemáticas . Springer-Verlag.
9. Goodwin, ET (1949). "La evaluación de integrales de la forma". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (2): 241–245. doi :10.1017/S0305004100024786. ISSN  1469-8064.
10. Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparación de reglas de integración en el caso de picos cromatográficos muy estrechos". Quimiometría y sistemas de laboratorio inteligentes . 179 : 22–30. doi :10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
11. (Weideman 2002)
12. "Fórmula de suma de Euler-Maclaurin para sumas múltiples". math.stackexchange.com .
13. Thompson, Nick. "Integración numérica sobre zonas de Brillouin". bandgap.io . Consultado el 19 de diciembre de 2017 .
14. (Cruz-Uribe y Neugebauer 2002)

Referencias

• Atkinson, Kendall E. (1989), Introducción al análisis numérico (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50023-0
• Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (diciembre de 1990), "Caracterización de la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal", Numerische Mathematik , 57 (1): 123–138, doi :10.1007/BF01386402, ISSN  0945-3245, S2CID  122245944
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2011), Análisis numérico (novena edición), Brooks/Cole
• Weideman, JAC (enero de 2002), "Integración numérica de funciones periódicas: algunos ejemplos", The American Mathematical Monthly , 109 (1): 21–36, doi :10.2307/2695765, JSTOR  2695765
• Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, CJ (2002), "Límites de error agudo para la regla trapezoidal y la regla de Simpson" (PDF) , Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , 3 (4)

Enlaces externos

• Fórmula del trapecio. IP Mysovskikh, Enciclopedia de matemáticas , ed. M. Hazewinkel
• Notas sobre la convergencia de la regla de cuadratura trapezoidal
• Una implementación de cuadratura trapezoidal proporcionada por Boost.Math