Regla en física atómica
En física atómica , la regla del intervalo de Landé [1] establece que, debido al débil acoplamiento del momento angular (ya sea espín-órbita o espín-espín), la energía que se divide entre subniveles sucesivos es proporcional al número cuántico del momento angular total ( J o F) del subnivel con el mayor de su valor de momento angular total (J o F). [3]
Fondo
La regla supone el acoplamiento Russell-Saunders y que las interacciones entre los momentos magnéticos de espín pueden ignorarse. Esta última es una suposición incorrecta para los átomos ligeros . Como resultado de esto, la regla la siguen de manera óptima los átomos con números atómicos medios . [4]
La regla fue establecida por primera vez en 1923 por el físico alemán - estadounidense Alfred Landé . [1]
Derivación
Como ejemplo, considere un átomo con dos electrones de valencia y sus estructuras finas en el esquema de acoplamiento LS . Deduciremos heurísticamente la regla de intervalo para el esquema de acoplamiento LS y comentaremos la similitud que conduce a la regla de intervalo para la estructura hiperfina .
Las interacciones entre electrones acoplan sus momentos angulares orbitales y de espín. Denotemos el espín y el momento angular orbital como y para cada electrón. Por tanto, el momento angular orbital total es y el momento de giro total es . Entonces el acoplamiento en el esquema LS da lugar a un hamiltoniano: ![{\displaystyle \mathbf {s} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {l} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {l} _{1}+\mathbf {l} _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{\mathrm {s} -\mathrm {o} }=\beta _{1}\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {l} _{1}+\beta _{2 }\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {l} _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y codifica la fuerza del acoplamiento. El hamiltoniano actúa como una perturbación del estado . El acoplamiento causaría que los momentos angulares totales orbitales y de espín cambiaran de dirección, pero el momento angular total permanecería constante. Su componente z también permanecería constante, ya que no hay ningún par externo que actúe sobre el sistema. Por lo tanto, cambiaremos el estado a , que es una combinación lineal de varios . Sin embargo, la combinación lineal exacta es innecesaria para determinar el cambio de energía. ![{\displaystyle \beta _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{\mathrm {s} -\mathrm {o} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \vert Lm_{L}Sm_{S}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {L} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {S} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J_{z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \vert Lm_{L}Jm_{J}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \vert Lm_{L}Sm_{S}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para estudiar esta perturbación, consideramos el modelo vectorial donde tratamos a cada uno como un vector. y precesiones alrededor del momento angular orbital total . En consecuencia, el componente perpendicular a promedia cero a lo largo del tiempo y, por lo tanto, solo es necesario considerar el componente a lo largo. Eso es, . Reemplazamos poco a poco por el valor esperado . ![{\displaystyle \mathbf {l} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {l} _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {l} _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {L} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {L} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {L} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {l} _{1}\rightarrow \left[\left({\overline {\mathbf {l} _{1}\cdot \mathbf {L} }}\right)/|\mathbf { L} |^{2}\right]\mathbf {L} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |\mathbf {L} |^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L(L+1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\overline {\mathbf {l} _ {1}\cdot \mathbf {L} }}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\langle \mathbf {l} _ {1}\cdot \mathbf {L} \right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicando este cambio a todos los términos del hamiltoniano, podemos reescribirlo como
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\mathrm {s} -\mathrm {o} }&=\beta _{1}{\frac {\left\langle \mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {S} \right\rangle }{S(S+1)}}\mathbf {S} \cdot {\frac {\left\langle \mathbf {l} _{1}\cdot \mathbf {L} \right\rangle }{L(L+1)}}\mathbf {L} +\beta _{2}{\frac {\left\langle \mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {S} \right\rangle }{S(S+1)}}\mathbf {S} \cdot {\frac {\left\langle \mathbf {l} _{2}\cdot \mathbf {L} \right\rangle } {L(L+1)}}\mathbf {L} \\&=\beta _{LS}\mathbf {S} \cdot \mathbf {L} \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El cambio de energía es entonces
![{\displaystyle E_{\mathrm {s} -\mathrm {o} }=\beta _{LS}\langle \mathbf {S} \cdot \mathbf {L} \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora podemos aplicar la sustitución para escribir la energía como![{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} =(\mathbf {J} \cdot \mathbf {J} -\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} -\mathbf {S} \cdot \mathbf {S} )/2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{\mathrm {s} -\mathrm {o} }={\frac {\beta _{LS}}{2}}\{J(J+1)-L(L+1)-S (S+1)\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En consecuencia, el intervalo de energía entre subniveles adyacentes es: ![{\displaystyle J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta E_{\mathrm {FS} }=E_{J}-E_{J-1}=\beta _{LS}J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ésta es la regla del intervalo de Landé.
Como ejemplo, considere un término que tiene 3 subniveles . La separación entre y es , el doble que la separación entre y es .![{\displaystyle {}^{3}P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}^{3}\mathrm {P} _{0},{}^{3}\mathrm {P} _{1},{}^{3}\mathrm {P} _{2} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En cuanto a la interacción espín-espín responsable de la estructura hiperfina, porque el hamiltoniano de la interacción hiperfina se puede escribir como
![{\displaystyle H_{HFS}=A_{HFS}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde está el espín nuclear y es el momento angular total, también tenemos una regla de intervalo:![{\displaystyle \mathbf {I} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {J} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{F}-E_{F-1}=A_{HFS}F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el momento angular total ? La derivación es esencialmente la misma, pero con espín nuclear , momento angular y momento angular total . ![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {I} +\mathbf {J} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {I} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {J} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {F} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Limitaciones
La regla del intervalo se cumple cuando el acoplamiento es débil. En el esquema de acoplamiento LS, un acoplamiento débil significa que la energía del acoplamiento espín-órbita es menor que la interacción electrostática residual: . Aquí, la interacción electrostática residual se refiere al término que incluye la interacción electrón-electrón después de emplear la aproximación del campo central al hamiltoniano del átomo. Para la estructura hiperfina, la regla del intervalo para dos momentos magnéticos puede verse alterada por una interacción magnética cuádruple entre ellos, por lo que queremos . ![{\ Displaystyle E_ {entonces}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{so}\ll E_{re}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\gg \Delta E_{\text{Cuadrupolo }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por ejemplo, en el helio, las interacciones espín-espín y la interacción espín-otra órbita tienen una energía comparable a la de la interacción espín-órbita.
Referencias
- ^ ab Landé, A. Termstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts. Z. Physik 15, 189-205 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01330473
- ^ Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de prensa académica de ciencia y tecnología . Prensa académica. págs.1201. ISBN 0-12-200400-0.
- ^ EU Condon y GH Shortley, La teoría de los espectros atómicos, Cambridge University Press, 1959, p.193.