La regla de los signos de Descartes

Vínculo entre el número de raíces positivas de un polinomio y los signos de sus coeficientes

En matemáticas , la regla de los signos de Descartes , descrita por primera vez por René Descartes en su obra La Géométrie , es una técnica para obtener información sobre el número de raíces reales positivas de un polinomio . Afirma que el número de raíces positivas es como máximo el número de cambios de signo en la secuencia de coeficientes del polinomio (omitiendo los coeficientes cero), y que la diferencia entre estos dos números es siempre par. Esto implica, en particular, que si el número de cambios de signo es cero o uno, entonces hay exactamente cero o una raíz positiva, respectivamente.

Mediante una transformación fraccionaria lineal de la variable, se puede utilizar la regla de los signos de Descartes para obtener información similar sobre el número de raíces en cualquier intervalo. Ésta es la idea básica del teorema de Budan y del teorema de Budan-Fourier . Al repetir la división de un intervalo en dos intervalos, se obtiene finalmente una lista de intervalos disjuntos que contienen juntas todas las raíces reales del polinomio y que contienen cada uno exactamente una raíz real. La regla de signos de Descartes y las transformaciones fraccionarias lineales de la variable son, hoy en día, la base de los algoritmos más rápidos para el cálculo informático de raíces reales de polinomios (ver aislamiento de raíces reales ).

El propio Descartes utilizó la transformación x → − x para utilizar su regla para obtener información sobre el número de raíces negativas.

La regla de los signos de Descartes

Raíces positivas

La regla establece que si los términos distintos de cero de un polinomio de una sola variable con coeficientes reales se ordenan mediante un exponente variable descendente, entonces el número de raíces positivas del polinomio es igual al número de cambios de signo entre coeficientes consecutivos (distintos de cero), o es menor que él por un número par. Una raíz de multiplicidad k se cuenta como k raíces.

En particular, si el número de cambios de signo es cero o uno, el número de raíces positivas es igual al número de cambios de signo.

raíces negativas

Como corolario de la regla, el número de raíces negativas es el número de cambios de signo después de multiplicar los coeficientes de los términos de potencias impares por −1, o menos por un número par. Este procedimiento equivale a sustituir la negación de la variable por la variable misma. Por ejemplo, las raíces negativas de son las raíces positivas de ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle a(-x)^{3}+b(-x)^{2}+c(-x)+d=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d.}$

Por tanto, al aplicar la regla de los signos de Descartes a este polinomio se obtiene el número máximo de raíces negativas del polinomio original.

Ejemplo: polinomio cúbico

El polinomio

${\displaystyle f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1}$

tiene un cambio de signo entre el segundo y tercer término, ya que la secuencia de signos es (+, +, −, −) . Por tanto, tiene exactamente una raíz positiva. Para encontrar el número de raíces negativas, cambie los signos de los coeficientes de los términos con exponentes impares, es decir, aplique la regla de los signos de Descartes al polinomio. ${\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1.}$

Este polinomio tiene dos cambios de signo, ya que la secuencia de signos es (−, +, +, −) , lo que significa que este segundo polinomio tiene dos o cero raíces positivas; por tanto, el polinomio original tiene dos o cero raíces negativas.

De hecho, la factorización del primer polinomio es

${\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}(x-1),}$

entonces las raíces son −1 (dos veces) y +1 (una vez).

La factorización del segundo polinomio es

${\displaystyle f(-x)=-(x-1)^{2}(x+1).}$

Entonces aquí, las raíces son +1 (dos veces) y −1 (una vez), la negación de las raíces del polinomio original.

Prueba

Lo que sigue es un esbozo aproximado de una prueba. ^[1] Primero, algunas definiciones preliminares:

• Escribe el polinomio como donde tenemos potencias enteras y coeficientes distintos de cero . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{b_{i}}}$ ${\displaystyle 0\leq b_{0}<b_{1}<\cdots <b_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

• Sea el número de cambios de signo de los coeficientes de , es decir, el número de tales que . ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}a_{k+1}<0}$

• Sea el número de raíces estrictamente positivas (contando la multiplicidad). ${\displaystyle Z(f)}$

Con esto, podemos enunciar formalmente la regla de Descartes de la siguiente manera:

Teorema  :  el número de raíces estrictamente positivas (contando la multiplicidad) de es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de , menos un número par no negativo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si , entonces podemos dividir el polinomio entre , lo que no cambiaría su número de raíces estrictamente positivas. Por lo tanto, WLOG, dejemos . ${\displaystyle b_{0}>0}$ ${\displaystyle x^{b_{0}}}$ ${\displaystyle b_{0}=0}$

Lema  :  si , entonces es par. Si , entonces es impar. ${\displaystyle a_{n}a_{0}>0}$ ${\displaystyle Z(f)}$ ${\displaystyle a_{0}a_{n}<0}$ ${\displaystyle Z(f)}$

Prueba de lema

${\displaystyle f(x)}$comienza en y termina en , por lo que debe cruzar el eje x positivo un número par de veces (cada una de las cuales contribuye con un número impar de raíces) y mirar (sin cruzar) el eje x positivo un número arbitrario de veces (cada de los cuales aporta un número par de raíces). ${\displaystyle f(0)=a_{0}>0}$ ${\displaystyle f(+\infty )=+\infty >0}$

El otro caso es similar.

Prueba del teorema principal

Del lema se deduce que y siempre tienen la misma paridad. Queda por mostrar . ${\displaystyle Z(f)}$ ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle Z(f)\leq V(f)}$

Inducimos en . Si , entonces es obvio. Ahora supongamos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0,1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Por hipótesis de inducción, para algún número entero . ${\displaystyle Z(f')=V(f')-2s}$ ${\displaystyle s\geq 0}$

Según el teorema de Rolle , existe al menos una raíz positiva de entre dos raíces positivas diferentes de . Además, cualquier raíz positiva múltiple de es una raíz múltiple de . De este modo . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle Z(f')\geq Z(f)-1}$

Si , entonces , si no . En ambos casos, ${\displaystyle a_{0}a_{1}>0}$ ${\displaystyle V(f')=V(f)}$ ${\displaystyle V(f')=V(f)-1}$ ${\displaystyle V(f')\leq V(f)}$

Juntos tenemos

$${\displaystyle Z(f)\leq Z(f')+1=V(f')-2s+1\leq V(f)-2s+1\leq V(f)+1}$$

Además, dado que y tienen la misma paridad, tenemos . ${\displaystyle Z(f)}$ ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle Z(f)\leq V(f)}$

Raíces irreales

Cualquier polinomio de n.ésimo grado tiene exactamente n raíces en el plano complejo , si se cuenta según la multiplicidad. Entonces, si f ( x ) es un polinomio con coeficientes reales que no tiene una raíz en 0 (es decir, un polinomio con un término constante distinto de cero), entonces el número mínimo de raíces no reales es igual a

${\displaystyle n-(p+q),}$

donde p denota el número máximo de raíces positivas, q denota el número máximo de raíces negativas (ambas se pueden encontrar usando la regla de signos de Descartes) y n denota el grado de la ecuación.

Ejemplo: algunos coeficientes cero y raíces no reales

El polinomio

${\displaystyle f(x)=x^{3}-1,}$

tiene un cambio de signo; entonces el número máximo de raíces reales positivas es uno. Como

${\displaystyle f(-x)=-x^{3}-1,}$

no tiene cambio de signo, el polinomio original no tiene raíces reales negativas. Entonces el número mínimo de raíces no reales es

${\displaystyle 3-(1+0)=2.}$

Dado que las raíces no reales de un polinomio con coeficientes reales deben aparecer en pares conjugados, significa que x ³ − 1 tiene exactamente dos raíces no reales y una raíz real, que es positiva.

Caso especial

La resta de sólo múltiplos de 2 del número máximo de raíces positivas se produce porque el polinomio puede tener raíces no reales, que siempre vienen en pares, ya que la regla se aplica a polinomios cuyos coeficientes son reales. Por lo tanto, si se sabe que el polinomio tiene todas las raíces reales, esta regla permite encontrar el número exacto de raíces positivas y negativas. Dado que es fácil determinar la multiplicidad de cero como raíz, en este caso se puede determinar el signo de todas las raíces.

Generalizaciones

Si el polinomio real P tiene k raíces reales positivas contadas con multiplicidad, entonces por cada a > 0 hay al menos k cambios de signo en la secuencia de coeficientes de la serie de Taylor de la función e ^ax P ( x ). Para a suficientemente grande , existen exactamente k cambios de signo. ^{[2] [3]}

En la década de 1970 , Askold Khovanskii desarrolló la teoría de los pocos nominales que generaliza la regla de Descartes. ^[4] Se puede considerar que la regla de los signos establece que el número de raíces reales de un polinomio depende de la complejidad del polinomio, y que esta complejidad es proporcional al número de monomios que tiene, no a su grado. Khovanskiǐ demostró que esto es válido no sólo para los polinomios sino también para combinaciones algebraicas de muchas funciones trascendentales , las llamadas funciones de Pfaff .

Ver también

• Teorema de Sturm  – Recuento de las raíces de un polinomio en un intervalo, sin calcularlas
• Teorema de la raíz racional  : relación entre las raíces racionales de un polinomio y sus coeficientes extremos
• Propiedades geométricas de raíces polinomiales  – Geometría de la ubicación de raíces polinómicas
• Teorema de Gauss-Lucas  – Relación geométrica entre las raíces de un polinomio y las de su derivada

Notas

1. Wang, Xiaoshen (junio-julio de 2004). "Una prueba simple de la regla de los signos de Descartes". El Mensual Matemático Estadounidense . 111 (6): 525. doi : 10.2307/4145072. ISSN  0002-9890.
2. DR Curtiss, Ampliaciones recientes de la regla de los signos de Descartes , Annals of Mathematics., Vol. 1, núm. 19, núm. 4, 1918, págs. 251–278.
3. Vladimir P. Kostov, Un mapeo definido por la composición Schur-Szegő , Comptes Rendus Acad. Bulto. Ciencia. tomo 63, núm. 7, 2010, págs. 943–952.
4. Khovanskiǐ, AG (1991). Poconomios . Traducciones de monografías matemáticas. Traducido del ruso por Smilka Zdravkovska. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . pag. 88.ISBN​ 0-8218-4547-0. Zbl  0728.12002.

enlaces externos

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• Regla de los signos de Descartes – Prueba de la regla
• Regla de los signos de Descartes: explicación básica