Módulo sin torsión

En álgebra abstracta , un módulo M sobre un anillo R se llama sin torsión si se puede incorporar a algún producto directo R ^I . De manera equivalente, M es sin torsión si cada elemento distinto de cero de M tiene una imagen distinta de cero bajo alguna función lineal R f :

${\displaystyle f\in M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M,R),\quad f(m)\neq 0.}$

Esta noción fue introducida por Hyman Bass . ^{[ cita requerida ]}

Propiedades y ejemplos

Un módulo es sin torsión si y sólo si el mapa canónico es su doble dual ,

${\displaystyle M\to M^{\ast \ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast },R),\quad m\mapsto (f\mapsto f(m)),m\in M,f\in M^{\ast },}$

es inyectiva . Si esta función es biyectiva, entonces el módulo se llama reflexivo . Por esta razón, los módulos sin torsión también se conocen como semirreflexivos .

• Un módulo libre unitario es sin torsión. En términos más generales, una suma directa de módulos sin torsión es sin torsión.
• Un módulo libre es reflexivo si se genera finitamente y, para algunos anillos, también hay módulos libres generados infinitamente que son reflexivos. Por ejemplo, la suma directa de un número contable de copias de los números enteros es un módulo reflexivo sobre los números enteros, véase, por ejemplo, ^{[1] .}

• Un submódulo de un módulo sin torsión es sin torsión. En particular, cualquier módulo proyectivo sobre R es sin torsión; cualquier ideal izquierdo de R es un módulo izquierdo sin torsión, y lo mismo ocurre con los ideales derechos.
• Cualquier módulo sin torsión sobre un dominio es un módulo libre de torsión , pero lo inverso no es cierto, ya que Q es un módulo Z libre de torsión que no es sin torsión.
• Si R es un anillo conmutativo que es un dominio integral y M es un módulo libre de torsión generado finitamente, entonces M puede integrarse en R ⁿ y, por lo tanto, M no tiene torsión.
• Supongamos que N es un módulo R derecho , entonces su dual N ^∗ tiene una estructura de módulo R izquierdo . Resulta que cualquier módulo R izquierdo que surja de esta manera es sin torsión (de manera similar, cualquier módulo R derecho que sea un dual de un módulo R izquierdo es sin torsión).
• En un dominio de Dedekind , un módulo generado finitamente es reflexivo si y solo si está libre de torsión. ^[2]
• Sea R un anillo noetheriano y M un módulo reflexivo finitamente generado sobre R . Entonces es un módulo reflexivo sobre S siempre que S sea plano sobre R . ^[3] ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

Relación con anillos semihereditarios

Stephen Chase demostró la siguiente caracterización de anillos semihereditarios en relación con módulos sin torsión:

Para cualquier anillo R , las siguientes condiciones son equivalentes: ^[4]

• R queda semihereditario.
• Todos los módulos R rectos sin torsión son planos .
• El anillo R queda coherente y satisface cualquiera de las cuatro condiciones que se sabe que son equivalentes:
  • Todos los ideales de R son planos.
  • Todos los ideales izquierdos de R son planos.
  • Los submódulos de todos los módulos R planos derechos son planos.
  • Los submódulos de todos los módulos R planos izquierdos son planos.

(La mezcla de adjetivos de izquierda/derecha en la declaración no es un error).

Véase también

• Dominio de prueba
• gavilla reflexiva

Nota

1. Eklof, PC; Mekler, AH (2002). Módulos casi libres: métodos de teoría de conjuntos . Biblioteca matemática de Holanda Septentrional. Vol. 65. doi :10.1016/s0924-6509(02)x8001-5. ISBN 9780444504920.S2CID116961421  .​
2. Demostración: Si M es reflexivo, no tiene torsión, por lo que es un submódulo de un módulo proyectivo finitamente generado y, por lo tanto, es proyectivo (condición semihereditaria). A la inversa, en un dominio de Dedekind, un módulo sin torsión finitamente generado es proyectivo y un módulo proyectivo es reflexivo (la existencia de una base dual ).
3. Bourbaki 1998, pag. Cap. VII, § 4, n. 2. Proposición 8.
4. Lam 1999, pág. 146.

Referencias

• Capítulo VII de Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa (2ª ed.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294