En matemáticas , la reducción se refiere a la reescritura de una expresión en una forma más simple. Por ejemplo, el proceso de reescribir una fracción en una con el denominador entero más pequeño posible (mientras se mantiene el numerador como un número entero) se llama " reducir una fracción ". Reescribir una expresión radical (o "raíz") con el número entero más pequeño posible debajo del símbolo radical se llama "reducir un radical". Minimizar el número de radicales que aparecen debajo de otros radicales en una expresión se denomina desanesamiento de radicales .
En álgebra lineal , la reducción se refiere a aplicar reglas simples a una serie de ecuaciones o matrices para cambiarlas a una forma más simple. En el caso de las matrices, el proceso implica manipular las filas o las columnas de la matriz, por lo que generalmente se denomina reducción de filas o reducción de columnas , respectivamente. A menudo, el objetivo de la reducción es transformar una matriz en su " forma escalonada reducida por filas " o "forma escalonada por filas"; éste es el objetivo de la eliminación gaussiana .
En cálculo , la reducción se refiere al uso de la técnica de integración por partes para evaluar integrales reduciéndolas a formas más simples.
En análisis dinámico, la reducción estática se refiere a reducir el número de grados de libertad. La reducción estática también se puede utilizar en el análisis de elementos finitos para referirse a la simplificación de un problema algebraico lineal. Dado que una reducción estática requiere varios pasos de inversión, es una operación matricial costosa y propensa a algún error en la solución. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales en un problema FEA:
donde K y F son conocidos y K , x y F se dividen en submatrices como se muestra arriba. Si F 2 contiene sólo ceros y sólo se desea x 1 , K se puede reducir para producir el siguiente sistema de ecuaciones
se obtiene escribiendo el conjunto de ecuaciones de la siguiente manera:
La ecuación ( 2 ) se puede resolver (asumiendo invertibilidad de ):
Y sustituyendo en ( 1 ) da
De este modo
De manera similar, cualquier fila o columna i de F con un valor cero puede eliminarse si no se desea el valor correspondiente de x i . Una K reducida puede reducirse nuevamente. Como nota, dado que cada reducción requiere una inversión, y cada inversión es una operación con costo computacional O ( n 3 ) , la mayoría de las matrices grandes se preprocesan para reducir el tiempo de cálculo.
En el siglo IX, Al-Jabr del matemático persa Al-Khwarizmi introdujo los conceptos fundamentales de "reducción" y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación y la cancelación de términos similares en lados opuestos. lados de la ecuación. Esta es la operación que Al-Khwarizmi describió originalmente como al-jabr . [1] El nombre " álgebra " proviene del " al-jabr " del título de su libro.
se sabe exactamente qué significan los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la implícita en la traducción anterior. La palabra al-jabr presumiblemente significaba algo así como "restauración" o "conclusión" y parece referirse a la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación, lo cual es evidente en el tratado; Se dice que la palabra muqabalah se refiere a "reducción" o "equilibrio", es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación.
