Reducción de pedidos

Técnica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

La reducción de orden (o reducción de d'Alembert ) es una técnica matemática para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden . Se emplea cuando se conoce una solución y se desea una segunda solución linealmente independiente . El método también se aplica a ecuaciones de orden n -ésimo. En este caso, el ansatz producirá una ecuación de orden ( n −1)-ésimo para . ${\displaystyle y_{1}(x)}$ ${\displaystyle y_{2}(x)}$ ${\displaystyle v}$

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden

Un ejemplo

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal, homogénea y general de segundo orden con coeficientes constantes. donde son coeficientes reales distintos de cero. Se pueden encontrar directamente dos soluciones linealmente independientes para esta EDO utilizando ecuaciones características, excepto en el caso en el que el discriminante , , se anula. En este caso, del cual solo se puede encontrar una solución, utilizando su ecuación característica. $${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,}$$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ $${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+{\frac {b^{2}}{4a}}y(x)=0,}$$ $${\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x},}$$

El método de reducción de orden se utiliza para obtener una segunda solución linealmente independiente de esta ecuación diferencial utilizando nuestra única solución conocida. Para encontrar una segunda solución, tomamos como una suposición dónde es una función desconocida que se debe determinar. Como debe satisfacer la EDO original, la sustituimos nuevamente para obtener Reorganizando esta ecuación en términos de las derivadas de obtenemos $${\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)}$$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle y_{2}(x)}$ $${\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+{\frac {b^{2}}{4a}}vy_{1}=0.}$$ ${\displaystyle v(x)}$ $${\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+{\frac {b^{2}}{4a}}y_{1}\right)v=0.}$$

Como sabemos que es una solución del problema original, el coeficiente del último término es igual a cero. Además, al sustituir en el coeficiente del segundo término se obtiene (para ese coeficiente) ${\displaystyle y_{1}(x)}$ ${\displaystyle y_{1}(x)}$ $${\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.}$$

Por lo tanto, nos quedamos con $${\displaystyle ay_{1}v''=0.}$$

Dado que se supone que no es cero y es una función exponencial (y, por lo tanto, siempre no es cero), tenemos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y_{1}(x)}$ $${\displaystyle v''=0.}$$

Esto se puede integrar dos veces para obtener donde son constantes de integración. Ahora podemos escribir nuestra segunda solución como $${\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}}$$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ $${\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).}$$

Dado que el segundo término es un múltiplo escalar de la primera solución (y por lo tanto linealmente dependiente), podemos eliminar ese término, obteniendo una solución final de ${\displaystyle y_{2}(x)}$ $${\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.}$$

Finalmente, podemos demostrar que la segunda solución encontrada a través de este método es linealmente independiente de la primera solución calculando el Wronskiano. ${\displaystyle y_{2}(x)}$ $${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.}$$

Esta es la segunda solución linealmente independiente que estábamos buscando. ${\displaystyle y_{2}(x)}$

Método general

Dada la ecuación diferencial lineal general no homogénea y una única solución de la ecuación homogénea [ ], probemos una solución de la ecuación no homogénea completa en la forma: donde es una función arbitraria. Por lo tanto y $${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)}$$ ${\displaystyle y_{1}(t)}$ ${\displaystyle r(t)=0}$ $${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)}$$ ${\displaystyle v(t)}$ $${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)}$$ $${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).}$$

Si estos se sustituyen por , , y en la ecuación diferencial, entonces ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y''}$ $${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).}$$

Como es una solución de la ecuación diferencial homogénea original, , entonces podemos reducir a que es una ecuación diferencial de primer orden para (reducción de orden). Dividir por , obteniendo ${\displaystyle y_{1}(t)}$ ${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$ $${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}$$ ${\displaystyle v'(t)}$ ${\displaystyle y_{1}(t)}$ $${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}.}$$

Un factor integrador viene dado por , y porque ${\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}}$

${\displaystyle \int \left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,dt=2\int {\frac {y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}\,dt+\int p(t)\,dt=2\ln(y_{1}(t))+\int p(t)\,dt=\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt,}$

Este factor de integración se puede expresar de manera más clara como Al multiplicar la ecuación diferencial por el factor de integración , la ecuación para se puede reducir a ${\displaystyle \mu (t)=e^{\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}.}$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle v(t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}\right)=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}.}$$

Después de integrar la última ecuación, se encuentra que contiene una constante de integración. Luego, se integra para encontrar la solución completa de la ecuación original no homogénea de segundo orden, que exhibe dos constantes de integración como debería: ${\displaystyle v'(t)}$ ${\displaystyle v'(t)}$ $${\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t).}$$

Véase también

• Variación de parámetros

Referencias

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (8.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43338-5.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Eric W. Weisstein, Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, segunda solución , de MathWorld: un recurso web de Wolfram.