Constante de Fibonacci recíproca

La constante recíproca de Fibonacci $ψ$ es la suma de los recíprocos de los números de Fibonacci :

\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .

Como la relación de términos sucesivos tiende al recíproco de la proporción áurea , que es menor que 1, la prueba de proporción muestra que la suma converge .

El valor de $ψ$ es aproximadamente

\psi = 3,359885666243177553172011302918927179688905133732\puntos

(secuencia A079586 en la OEIS ).

Con $k$ términos, la serie da $O(k)$ dígitos de precisión. Bill Gosper derivó una serie acelerada que proporciona $O(k 2)$ dígitos. ^[1] $ψ$ es irracional , como lo conjeturaron Paul Erdős , Ronald Graham y Leonard Carlitz , y lo demostró en 1989 Richard André-Jeannin. ^[2]

Su representación en fracción continua es:

\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\puntos ]\!\,

(secuencia A079587 en la OEIS ).

Véase también

^ Gosper, William R. (1974), Aceleración de series, Memorándum sobre Inteligencia Artificial n.° 304, Laboratorio de Inteligencia Artificial, Instituto Tecnológico de Massachusetts , pág. 66, hdl :1721.1/6088.
^ André-Jeannin, Richard (1989), "Irrationalité de la somme des inverses de sures suites récurrentes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 308 (19): 539–541, SEÑOR 0999451