En lógica y matemáticas , el inverso de una proposición categórica o implicacional es el resultado de invertir sus dos proposiciones constituyentes. Para la implicación P → Q , el inverso es Q → P . Para la proposición categórica Todos los S son P , el inverso es Todos los P son S . De cualquier manera, la verdad del inverso es generalmente independiente de la del enunciado original. [1]
Sea S un enunciado de la forma P implica Q ( P → Q ). Entonces el recíproco de S es el enunciado Q implica P ( Q → P ). En general, la verdad de S no dice nada acerca de la verdad de su recíproco, [2] a menos que el antecedente P y el consecuente Q sean lógicamente equivalentes.
Por ejemplo, considere la afirmación verdadera “Si soy un humano, entonces soy mortal”. Su recíproco es “Si soy mortal, entonces soy un humano”, lo cual no es necesariamente cierto .
Sin embargo, el inverso de una afirmación con términos mutuamente inclusivos sigue siendo cierto, dada la verdad de la proposición original. Esto es equivalente a decir que el inverso de una definición es verdadero. Por lo tanto, la afirmación "Si soy un triángulo, entonces soy un polígono de tres lados" es lógicamente equivalente a "Si soy un polígono de tres lados, entonces soy un triángulo", porque la definición de "triángulo" es "polígono de tres lados".
Una tabla de verdad deja claro que S y el inverso de S no son lógicamente equivalentes, a menos que ambos términos se impliquen entre sí:
Pasar de un enunciado a su recíproco es la falacia de afirmar el consecuente . Sin embargo, si el enunciado S y su recíproco son equivalentes (es decir, P es verdadero si y solo si Q también es verdadero), entonces afirmar el consecuente será válido.
La implicación inversa es lógicamente equivalente a la disyunción de y
En lenguaje natural, esto podría traducirse como "no Q sin P ".
En matemáticas, el inverso de un teorema de la forma P → Q será Q → P . El inverso puede ser cierto o no, e incluso si lo fuera, la demostración puede ser difícil. Por ejemplo, el teorema de los cuatro vértices se demostró en 1912, pero su inverso se demostró recién en 1997. [3]
En la práctica, al determinar el inverso de un teorema matemático, los aspectos del antecedente pueden tomarse como contexto de establecimiento. Es decir, el inverso de “Dado P, si Q entonces R ” será “Dado P, si R entonces Q ” . Por ejemplo, el teorema de Pitágoras puede enunciarse como:
Dado un triángulo con lados de longitud , , y , si el ángulo opuesto al lado de longitud es un ángulo recto, entonces .
La inversa, que también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), puede enunciarse así:
Dado un triángulo con lados de longitud , , y , si , entonces el ángulo opuesto al lado de longitud es un ángulo recto.
Si es una relación binaria con entonces la relación inversa también se llama transpuesta . [4]
La inversa de la implicación P → Q puede escribirse Q → P , , pero también puede escribirse , o "B pq " (en notación de Bocheński ). [ cita requerida ]
En la lógica tradicional, el proceso de intercambiar el término sujeto por el término predicado se denomina conversión . Por ejemplo, pasar de “No S son P” a su inverso “No P son S” . En palabras de Asa Mahan :
"La proposición original se llama exposita; cuando se convierte, se denomina recíproca. La conversión es válida cuando, y sólo cuando, en la recíproca no se afirma nada que no esté afirmado o implícito en la exposita". [5]
La "exposita" se denomina más comúnmente "convertend". En su forma simple, la conversión es válida sólo para las proposiciones E e I : [6]
La validez de la conversión simple sólo para las proposiciones E e I puede expresarse mediante la restricción de que "Ningún término debe distribuirse en el recíproco que no esté distribuido en el convertido". [7] Para las proposiciones E , tanto el sujeto como el predicado están distribuidos , mientras que para las proposiciones I , ninguno lo está.
En el caso de las proposiciones A , el sujeto está distribuido mientras que el predicado no lo está, por lo que la inferencia de una proposición A a su recíproco no es válida. Por ejemplo, para la proposición A "Todos los gatos son mamíferos", el recíproco "Todos los mamíferos son gatos" es obviamente falso. Sin embargo, el enunciado más débil "Algunos mamíferos son gatos" es verdadero. Los lógicos definen la conversión per accidens como el proceso de producir este enunciado más débil. La inferencia de una proposición a su recíproco per accidens es generalmente válida. Sin embargo, al igual que con los silogismos , este cambio de lo universal a lo particular causa problemas con las categorías vacías: "Todos los unicornios son mamíferos" a menudo se toma como verdadero, mientras que el recíproco per accidens "Algunos mamíferos son unicornios" es claramente falso.
En el cálculo de predicados de primer orden , Todos los S son P se pueden representar como . [8] Por lo tanto, está claro que el recíproco categórico está estrechamente relacionado con el recíproco implicacional, y que S y P no se pueden intercambiar en Todos los S son P .
