Análisis de la matriz de transferencia de rayos

Técnica de trazado de rayos

El análisis de la matriz de transferencia de rayos (también conocido como análisis de la matriz ABCD ) es una forma matemática para realizar cálculos de trazado de rayos en problemas suficientemente simples que pueden resolverse considerando solo rayos paraxiales. Cada elemento óptico (superficie, interfaz, espejo o recorrido del haz) se describe mediante una matriz de transferencia de rayos 2 × 2 que opera sobre un vector que describe un rayo de luz entrante para calcular el rayo saliente. La multiplicación de las matrices sucesivas produce así una matriz de transferencia de rayos concisa que describe todo el sistema óptico. Las mismas matemáticas también se utilizan en la física de aceleradores para rastrear partículas a través de las instalaciones magnéticas de un acelerador de partículas , véase óptica electrónica .

Esta técnica, como se describe a continuación, se deriva utilizando la aproximación paraxial , que requiere que todas las direcciones de los rayos (direcciones normales a los frentes de onda) estén en ángulos pequeños θ en relación con el eje óptico del sistema, de modo que la aproximación sen θ ≈ θ siga siendo válida. Un θ pequeño implica además que la extensión transversal de los haces de rayos ( x e y ) es pequeña en comparación con la longitud del sistema óptico (por lo tanto, "paraxial"). Dado que un sistema de imágenes decente donde este no es el caso para todos los rayos aún debe enfocar los rayos paraxiales correctamente, este método matricial describirá adecuadamente las posiciones de los planos focales y los aumentos, sin embargo, las aberraciones aún deben evaluarse utilizando técnicas de trazado de rayos completo . ^[1]

Definición de matriz

En el análisis matricial de transferencia de rayos (ABCD), un elemento óptico (aquí, una lente gruesa) proporciona una transformación entre ( x ₁ , θ ₁ ) en el plano de entrada y ( x ₂ , θ ₂ ) cuando el rayo llega al plano de salida.

La técnica de trazado de rayos se basa en dos planos de referencia, llamados planos de entrada y de salida , cada uno perpendicular al eje óptico del sistema. En cualquier punto a lo largo del tren óptico se define un eje óptico correspondiente a un rayo central; ese rayo central se propaga para definir el eje óptico más adelante en el tren óptico, que no necesita estar en la misma dirección física (como cuando se dobla por un prisma o un espejo). Las direcciones transversales x e y (a continuación solo consideramos la dirección x ) se definen como ortogonales a los ejes ópticos aplicables. Un rayo de luz ingresa a un componente cruzando su plano de entrada a una distancia x ₁ del eje óptico, viajando en una dirección que forma un ángulo θ ₁ con el eje óptico. Después de la propagación al plano de salida, ese rayo se encuentra a una distancia x ₂ del eje óptico y en un ángulo θ ₂ con respecto a él. n ₁ y n ₂ son los índices de refracción de los medios en el plano de entrada y de salida, respectivamente.

La matriz ABCD que representa un componente o sistema relaciona el rayo de salida con el de entrada según donde los valores de los 4 elementos de la matriz están dados por y $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}$$ $${\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}$$

Esto relaciona los vectores de rayos en los planos de entrada y salida mediante la matriz de transferencia de rayos ( RTM ) M , que representa el componente óptico o sistema presente entre los dos planos de referencia. Se puede utilizar un argumento termodinámico basado en la radiación del cuerpo negro ^{[ cita requerida ]} para demostrar que el determinante de una RTM es la relación de los índices de refracción: $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.}$$

Como resultado, si los planos de entrada y salida están ubicados dentro del mismo medio, o dentro de dos medios diferentes que tienen índices de refracción idénticos, entonces el determinante de M es simplemente igual a 1.

Se puede emplear una convención diferente para los vectores de rayos. En lugar de utilizar θ ≈ sen θ , el segundo elemento del vector de rayos es n  sen θ , ^[2] que es proporcional no al ángulo del rayo en sí sino al componente transversal del vector de onda . Esto altera las matrices ABCD que se dan en la tabla siguiente donde interviene la refracción en una interfaz.

El uso de matrices de transferencia de esta manera es paralelo alMatrices 2 × 2 que describen redes electrónicas de dos puertos , en particular varias matrices denominadas ABCD que pueden multiplicarse de manera similar para resolver sistemas en cascada.

Algunos ejemplos

Ejemplo de espacio libre

Como ejemplo, si hay espacio libre entre los dos planos, la matriz de transferencia de rayos viene dada por: donde d es la distancia de separación (medida a lo largo del eje óptico) entre los dos planos de referencia. La ecuación de transferencia de rayos se convierte así en: y esto relaciona los parámetros de los dos rayos como: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&={\hphantom {x_{1}+d}}\theta _{1}\end{aligned}}}$$

Ejemplo de lente delgada

Otro ejemplo simple es el de una lente delgada . Su RTM viene dada por: donde f es la longitud focal de la lente. Para describir combinaciones de componentes ópticos, las matrices de transferencia de rayos se pueden multiplicar entre sí para obtener una RTM general para el sistema óptico compuesto. Para el ejemplo de espacio libre de longitud d seguido de una lente de longitud focal f : $${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\-{\frac {1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}.}$$

Tenga en cuenta que, dado que la multiplicación de matrices no es conmutativa , este no es el mismo RTM que el de una lente seguida de espacio libre: $${\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}.}$$

Por lo tanto, las matrices deben ordenarse adecuadamente, de modo que la última matriz multiplique previamente a la segunda, y así sucesivamente hasta que la primera matriz sea premultiplicada por la segunda. Se pueden construir otras matrices para representar interfaces con medios de diferentes índices de refracción , reflexión de espejos , etc.

Valores propios

Una matriz de transferencia de rayos puede considerarse como una transformación canónica lineal . Según los valores propios del sistema óptico, el sistema puede clasificarse en varias clases. ^[3] Supongamos que la matriz ABCD que representa un sistema relaciona el rayo de salida con la entrada según $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}$$

Calculamos los valores propios de la matriz que satisfacen la ecuación propia calculando el determinante ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}$$

Sea , y tenemos valores propios . ${\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$

Según los valores de y , existen varios casos posibles. Por ejemplo: ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

1. Un par de valores propios reales: y , donde . Este caso representa una lupa ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle r\neq 1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}$
2. ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$o . Este caso representa la matriz unitaria (o con un inversor de coordenadas adicional) . ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$
3. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1}$Este caso ocurre si, pero no solo si, el sistema es un operador unitario, una sección de espacio libre o una lente.
4. Un par de dos valores propios conjugados complejos y unimodulares y . Este caso es similar a una transformada de Fourier fraccionaria separable . ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle e^{-i\theta }}$

Matrices para componentes ópticos simples

Relación entre la óptica de rayos geométricos y la óptica ondulatoria

La teoría de la transformación canónica lineal implica la relación entre la matriz de transferencia de rayos ( óptica geométrica ) y la óptica ondulatoria. ^[6]

Descomposición común

Existen infinitas formas de descomponer una matriz de transferencia de rayos en una concatenación de múltiples matrices de transferencia. Por ejemplo, en el caso especial cuando : ${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$

1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]}$.
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]}$
3. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]}$
4. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]}$

Estabilidad del resonador

El análisis RTM es particularmente útil cuando se modela el comportamiento de la luz en resonadores ópticos , como los que se usan en láseres. En su forma más simple, un resonador óptico consta de dos espejos enfrentados idénticos de 100% de reflectividad y radio de curvatura R , separados por una cierta distancia d . Para los fines del trazado de rayos, esto es equivalente a una serie de lentes delgadas idénticas de longitud focal f = R /2 , cada una separada de la siguiente por una longitud d . Esta construcción se conoce como conducto equivalente de lente o guía de onda equivalente de lente . El RTM de cada sección de la guía de onda es, como se indicó anteriormente, $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}$$

El análisis RTM se puede utilizar ahora para determinar la estabilidad de la guía de ondas (y, equivalentemente, del resonador). Es decir, se puede determinar en qué condiciones la luz que viaja por la guía de ondas se reenfocará periódicamente y permanecerá dentro de la guía de ondas. Para ello, podemos encontrar todos los "rayos propios" del sistema: el vector de rayos de entrada en cada una de las secciones mencionadas de la guía de ondas multiplicado por un factor real o complejo λ es igual al de salida. Esto da: que es una ecuación de valores propios : donde es el $${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}$$ ${\textstyle \mathbf {I} =\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$ Matriz identidad de 2 × 2 .

Procedemos a calcular los valores propios de la matriz de transferencia: que conduce a la ecuación característica donde es la traza de la RTM , y es el determinante de la RTM . Después de una sustitución común tenemos: donde es el parámetro de estabilidad . Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica. A partir de la fórmula cuadrática encontramos $${\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}$$ $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}$$ $${\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}$$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}$$

Ahora, consideremos un rayo después de que N pasa a través del sistema: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$

Si la guía de ondas es estable, ningún rayo debe alejarse arbitrariamente del eje principal, es decir, λ ^N no debe crecer sin límite. Supóngase . Entonces ambos valores propios son reales. Como , uno de ellos tiene que ser mayor que 1 (en valor absoluto), lo que implica que el rayo que corresponde a este vector propio no convergería. Por lo tanto, en una guía de ondas estable, , y los valores propios pueden representarse mediante números complejos: con la sustitución g = cos( ϕ ) . ${\displaystyle g^{2}>1}$ ${\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}$ ${\displaystyle g^{2}\leq 1}$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}$$

Para que sean y los vectores propios con respecto a los valores propios y respectivamente, que abarcan todo el espacio vectorial porque son ortogonales, estos últimos debido a . Por lo tanto, el vector de entrada se puede escribir como para algunas constantes y . ${\displaystyle g^{2}<1}$ ${\displaystyle r_{+}}$ ${\displaystyle r_{-}}$ ${\displaystyle \lambda _{+}}$ ${\displaystyle \lambda _{-}}$ ${\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}$ $${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}$$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

Después de N sectores de guía de ondas, la salida lee lo que representa una función periódica. $${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}$$

Rayos gaussianos

Las mismas matrices también se pueden utilizar para calcular la evolución de haces gaussianos ^[7] que se propagan a través de componentes ópticos descritos por las mismas matrices de transmisión. Si tenemos un haz gaussiano de longitud de onda , radio de curvatura R (positivo para divergente, negativo para convergente), tamaño del punto de haz w e índice de refracción n , es posible definir un parámetro de haz complejo q mediante: ^[8] ${\displaystyle \lambda _{0}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}$$

( R , w y q son funciones de la posición). Si el eje de la viga está en la dirección z , con cintura en z ₀ y rango de Rayleigh z _R , esto se puede escribir de manera equivalente como ^[8] $${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}$$

Este haz se puede propagar a través de un sistema óptico con una matriz de transferencia de rayos dada utilizando la ecuación ^{[ se necesita más explicación ]} : donde k es una constante de normalización elegida para mantener el segundo componente del vector de rayos igual a 1. Utilizando la multiplicación de matrices , esta ecuación se expande como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}$$

Dividir la primera ecuación por la segunda elimina la constante de normalización: $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}$$

A menudo es conveniente expresar esta última ecuación en forma recíproca: $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}$$

Ejemplo: Espacio libre

Considere un haz que recorre una distancia d a través del espacio libre, la matriz de transferencia de rayos es y, por lo tanto, es consistente con la expresión anterior para la propagación de un haz gaussiano ordinario, es decir , A medida que el haz se propaga, tanto el radio como la cintura cambian. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}$$ ${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}}$

Ejemplo: Lente delgada

Considere un haz que viaja a través de una lente delgada con una longitud focal f . La matriz de transferencia de rayos es y, por lo tanto, solo la parte real de 1/ q se ve afectada: la curvatura del frente de onda 1/ R se reduce por la potencia de la lente 1/ f , mientras que el tamaño del haz lateral w permanece sin cambios al salir de la lente delgada. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}.}$$

Matrices de rango superior

Métodos que utilizan matrices de transferencia de mayor dimensionalidad, es decir3 × 3 ,4 × 4 , y6 × 6 , también se utilizan en análisis óptico. ^[9] En particular,Las matrices de propagación 4 × 4 se utilizan en el diseño y análisis de secuencias de prismas para la compresión de pulsos en láseres de femtosegundos . ^[5]

Véase también

• Método de matriz de transferencia (óptica)
• Transformación canónica lineal

Notas al pie

1. Nussbaum (1992) describe la extensión de los métodos matriciales para el rastreo de rayos meridionales (no paraxiales).
2. Gerrard y Burch (1994), pág. 27, llamado "coseno de dirección óptica".
3. Bastiaans y Alieva (2007).
4. Hecht (2002).
5. Duarte (2003), Capítulo 6
6. Nazarathy y Shamir (1982).
7. Rashidian Vaziri, Hajiesmaeilbaigi y Maleki (2013).
8. C. Tim Lei. "Página web de Óptica de Física 4510".especialmente el Capítulo 5 ^{[ fuente autoeditada ]}
9. Brouwer (1964); Siegman (1986); Wollnik (1987).

Referencias

• Bastiaans, Martin J.; Alieva, Tatiana (14 de marzo de 2007). "Clasificación de sistemas ópticos de primer orden sin pérdidas y transformación canónica lineal" (PDF) . Journal of the Optical Society of America A . 24 (4): 1053–1062. Bibcode :2007JOSAA..24.1053B. doi :10.1364/josaa.24.001053. PMID  17361291.
• Brouwer, W. (1964). Métodos matriciales en el diseño de instrumentos ópticos . Nueva York: Benjamin. Bibcode :1964mmoi.book.....B.
• Duarte, FJ (2003). Tunable Laser Optics . Nueva York: Elsevier-Academic.
• Gerrard, A.; Burch, JM (1994) [1975]. Introducción a los métodos matriciales en óptica (ed. Dover). Publicaciones Dover. ISBN 0-486-68044-4.
• Hecht, Eugene (2002). Óptica (4ª ed.). Addison Wesley.
• Nazarathy, Moshe; Shamir, Joseph (1 de marzo de 1982). "Óptica de primer orden: una representación de operador canónico: sistemas sin pérdidas". Revista de la Sociedad Óptica de América . 72 (3): 356. doi :10.1364/josa.72.000356.
• Nussbaum, Allen (1 de marzo de 1992). "Modernización de la enseñanza de la óptica geométrica avanzada" (PDF) . Proc. SPIE 1603. Educación en óptica, 1991. Leningrado, Federación Rusa: SPIE . pp. 389–400.
• Rashidian Vaziri, MR; Hajiesmaeilbaigi, F.; Maleki (2013). "Nuevo modelo de conductos para analizar la propagación del haz gaussiano en medios Kerr no lineales y su aplicación a modulaciones de autofase espaciales". Journal of Optics . 15 (3): 035202. Bibcode :2013JOpt...15c5202R. doi :10.1088/2040-8978/15/3/035202.
• Siegman, Anthony E. (1986). Láseres . Mill Valley, California: University Science Books.
• Wollnik, H. (1987). Óptica de partículas cargadas . Nueva York: Academic.

Lectura adicional

• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). "1.4: Operaciones matriciales". Fundamentos de fotónica . Nueva York: John Wiley & Sons.

Enlaces externos

• Lentes gruesas (métodos matriciales)
• Tutorial de matrices ABCD Proporciona un ejemplo de una matriz de sistema de un sistema completo.
• Calculadora ABCD Una calculadora interactiva para ayudar a resolver matrices ABCD.