Teorema de rango cerrado

Teorema matemático sobre los espacios de Banach

En la teoría matemática de los espacios de Banach , el teorema de rango cerrado proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un operador cerrado y densamente definido tenga rango cerrado .

El teorema fue demostrado por Stefan Banach en su Théorie des opérations linéaires de 1932 .

Declaración

Sean y espacios de Banach, un operador lineal cerrado cuyo dominio es denso en y la transpuesta de . El teorema afirma que las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:D(T)\to Y}$ ${\displaystyle D(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle R(T),}$El rango de está cerrado en ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle R(T'),}$El rango de se cierra en el dual de ${\displaystyle T',}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.}$
• ${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad y\in N(T)\right\}.}$

Donde y son el espacio nulo de y , respectivamente. ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N(T')}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

Nótese que siempre hay una inclusión , porque si y , entonces . Asimismo, hay una inclusión . Por lo tanto, la parte no trivial del teorema anterior es la inclusión opuesta en los dos puntos finales. ${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp }}$ ${\displaystyle y=Tx}$ ${\displaystyle x^{*}\in N(T')}$ ${\displaystyle \langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0}$ ${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp }}$

Corolarios

Del teorema se desprenden varios corolarios inmediatos. Por ejemplo, un operador cerrado definido densamente como el anterior tiene si y solo si la transpuesta tiene una inversa continua. De manera similar, si y solo si tiene una inversa continua. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R(T)=Y}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle R(T')=X'}$ ${\displaystyle T}$

Bosquejo de la prueba

Como el gráfico de T es cerrado, la prueba se reduce al caso en el que es un operador acotado entre espacios de Banach. Ahora, factoriza como . Dualmente, es ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X{\overset {p}{\to }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}\operatorname {im} T{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y}$ ${\displaystyle T'}$

${\displaystyle Y'\to (\operatorname {im} T)'{\overset {T_{0}'}{\to }}(X/\operatorname {ker} T)'\to X'.}$

Ahora bien, si es cerrado, entonces es Banach y, por lo tanto, según el teorema de aplicación abierta , es un isomorfismo topológico. De ello se deduce que es un isomorfismo y, por lo tanto , . (Se necesita más trabajo para las otras implicaciones). ${\displaystyle \operatorname {im} T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}'}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot }}$ ${\displaystyle \square }$

Referencias

• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Yosida, K. (1980), Análisis funcional , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas), vol. 123 (6ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.