Radio equivalente

Radio de un círculo o esfera equivalente a un objeto no circular o no esférico

En ciencias aplicadas , el radio equivalente (o radio medio ) es el radio de un círculo o esfera con el mismo perímetro, área o volumen de un objeto no circular o no esférico. El diámetro equivalente (o diámetro medio ) ( ) es el doble del radio equivalente. ${\displaystyle D}$

Perímetro equivalente

Medición de la circunferencia del árbol, la cinta calibrada para mostrar el diámetro, a la altura del pecho. La cinta asume una forma circular.

El perímetro de un círculo de radio R es . Dado el perímetro de un objeto no circular P , se puede calcular su radio equivalente al perímetro estableciendo ${\displaystyle 2\pi R}$

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{mean}}}$

o, alternativamente:

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\frac {P}{2\pi }}}$

Por ejemplo, un cuadrado de lado L tiene un perímetro de . Establecer que ese perímetro sea igual al de un círculo implica que ${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

Aplicaciones:

• El tamaño de un sombrero en EE. UU. es la circunferencia de la cabeza, medida en pulgadas, dividida por pi y redondeada al 1/8 de pulgada más cercano. Esto corresponde al diámetro medio unidimensional. ^[1]
• El diámetro a la altura del pecho es la circunferencia del tronco del árbol , medida a una altura de 4,5 pies, dividida por pi. Esto corresponde al diámetro medio unidimensional. Se puede medir directamente con una cinta métrica. ^[2]

Área equivalente

Área de la sección transversal de un canal abierto trapezoidal, en rojo se destaca el perímetro mojado , donde el agua está en contacto con el canal. El diámetro hidráulico es la configuración circular equivalente con la misma circunferencia que el perímetro mojado.

El área de un círculo de radio R es . Dada el área de un objeto no circular A , se puede calcular su radio equivalente al área estableciendo ${\displaystyle \pi R^{2}}$

${\displaystyle A=\pi R_{\text{mean}}^{2}}$

o, alternativamente:

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

A menudo el área considerada es la de una sección transversal .

Por ejemplo, un cuadrado de lado L tiene un área de . Establecer que esa área sea igual a la de un círculo implica que ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.3183L}$

De manera similar, una elipse con semieje mayor y semieje menor tiene un radio medio . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

Para un círculo, donde , esto se simplifica a . ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}=a}$

Aplicaciones:

• El diámetro hidráulico se define de manera similar como 4 veces el área de la sección transversal de una tubería A , dividida por su perímetro "humedecido" P . Para una tubería circular de radio R , a pleno caudal, esto es

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

como se esperaría. Esto es equivalente a la definición anterior del diámetro medio 2D. Sin embargo, por razones históricas, el radio hidráulico se define como el área de la sección transversal de una tubería A , dividida por su perímetro mojado P , lo que conduce a , y el radio hidráulico es la mitad del radio medio 2D. ^[3] ${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\mathbb {H} }}$

• En la clasificación agregada , el diámetro equivalente es el "diámetro de un círculo con un área de sección agregada igual", que se calcula mediante . Se utiliza en muchos programas de procesamiento de imágenes digitales. ^[4] ${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

Volumen equivalente

Una esfera (arriba), un elipsoide rotacional (izquierda) y un elipsoide triaxial (derecha)

El volumen de una esfera de radio R es . Dado el volumen de un objeto no esférico V , se puede calcular su radio equivalente al volumen estableciendo ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{mean}}^{3}}$

o, alternativamente:

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

Por ejemplo, un cubo de lado L tiene un volumen de . Si se establece que ese volumen es igual al de una esfera, se deduce que ${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

De manera similar, un elipsoide triaxial con ejes , y tiene un radio medio de . ^[5] La fórmula para un elipsoide rotacional es el caso especial donde . Asimismo, un esferoide oblato o elipsoide rotacional con ejes y tiene un radio medio de . ^[6] Para una esfera, donde , esto se simplifica a . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{a\cdot b\cdot c}}}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$ ${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}=a}$

Aplicaciones:

• Para el planeta Tierra , que puede aproximarse como un esferoide achatado con radios6 378,1 km y6 356,8 km , el radio medio 3D es . ^[6] ${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}}$

Otras equivalencias

El radio auténtico es un radio equivalente al área de superficie de figuras sólidas como un elipsoide.

El círculo osculador y la esfera osculadora definen radios de curvatura equivalentes en un punto particular de tangencia para figuras planas y figuras sólidas, respectivamente.

Véase también

• Radio equivalente de la antena
• Radio efectivo de caída de nubes
• Media cúbica
• Elipsoide terrestre
• Radio de la Tierra
• Radio efectivo de la galaxia
• Geoide
• Media geométrica
• Semidiámetro

Referencias

1. Bello, Ignacio; Britton, Jack Rolf (1993). Temas de matemáticas contemporáneas (5.ª ed.). Lexington, Mass.: DC Heath. pág. 512. ISBN 9780669289572.
2. West, PW (2004). "Diámetro del tallo". Medición de árboles y bosques . Nueva York: Springer. pp. 13 y siguientes. ISBN 9783540403906.
3. Wei, Maoxing; Cheng, Nian-Sheng; Lu, Yesheng (octubre de 2023). "Revisitando el concepto de radio hidráulico". Revista de hidrología . 625 (Parte B): 130134. Código Bibliográfico :2023JHyd..62530134W. doi :10.1016/j.jhydrol.2023.130134.
4. Sun, Lijun (2016). "Homogeneidad de la mezcla asfáltica". Comportamiento estructural de los pavimentos asfálticos . págs. 821–921. doi :10.1016/B978-0-12-849908-5.00013-4. ISBN 978-0-12-849908-5.
5. Leconte, J.; Lai, D.; Chabrier, G. (2011). "Planetas en tránsito distorsionados y no esféricos: impacto en la profundidad del tránsito y en la determinación del radio" (PDF) . Astronomía y Astrofísica . 528 (A41): 9. arXiv : 1101.2813 . Bibcode :2011A&A...528A..41L. doi :10.1051/0004-6361/201015811.
6. Chambat, F.; Valette, B. (2001). "Radio medio, masa e inercia para modelos terrestres de referencia" (PDF) . Física de la Tierra y del interior planetario . 124 (3–4): 4. Bibcode :2001PEPI..124..237C. doi :10.1016/S0031-9201(01)00200-X.