Radio de Bohr

Unidad de longitud del tamaño aproximado de un átomo de hidrógeno.

El radio de Bohr ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{0}}$ ) es una constante física , aproximadamente igual a la distancia más probable entre el núcleo y el electrón en un átomo de hidrógeno en su estado fundamental . Recibe su nombre en honor a Niels Bohr , debido a su papel en el modelo de Bohr del átomo. Su valor es5,291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  m . ^{[1] [2]}

Definición y valor

El radio de Bohr se define como ^[3] donde $${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c\alpha }},}$$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,
• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa de un electrón ,
• ${\displaystyle e}$es la carga elemental ,
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío, y
• ${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina .

El valor CODATA del radio de Bohr (en unidades SI ) es5,291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  m . ^[1]

Historia

Imagen de un átomo de hidrógeno utilizando el modelo de Bohr

En el modelo de Bohr para la estructura atómica , propuesto por Niels Bohr en 1913, los electrones orbitan alrededor de un núcleo central bajo atracción electrostática. La derivación original postuló que los electrones tienen un momento angular orbital en múltiplos enteros de la constante de Planck reducida, lo que coincidía con éxito con la observación de niveles de energía discretos en los espectros de emisión, junto con la predicción de un radio fijo para cada uno de estos niveles. En el átomo más simple, el hidrógeno , un solo electrón orbita alrededor del núcleo, y su órbita más pequeña posible, con la energía más baja, tiene un radio orbital casi igual al radio de Bohr. (No es exactamente el radio de Bohr debido al efecto de masa reducido . Difieren en aproximadamente un 0,05 %.)

El modelo atómico de Bohr fue reemplazado por una nube de probabilidad de electrones que se adhería a la ecuación de Schrödinger publicada en 1926. Esto se complica aún más por los efectos del espín y del vacío cuántico para producir la estructura fina y la estructura hiperfina . Sin embargo, la fórmula del radio de Bohr sigue siendo central en los cálculos de física atómica , debido a su relación simple con las constantes fundamentales (es por eso que se define utilizando la masa real del electrón en lugar de la masa reducida, como se mencionó anteriormente). Como tal, se convirtió en la unidad de longitud en unidades atómicas .

En la teoría cuántica del átomo de hidrógeno de Schrödinger, el radio de Bohr es el valor de la coordenada radial para la cual la densidad de probabilidad radial de la posición del electrón es más alta. El valor esperado de la distancia radial del electrón, por el contrario, es  ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}a_{0}}$ . ^[4]

Constantes relacionadas

El radio de Bohr es una de las tres unidades de longitud relacionadas, siendo las otras dos la longitud de onda Compton reducida del electrón ( ) y el radio clásico del electrón ( ). Cualquiera de estas constantes se puede escribir en términos de cualquiera de las otras utilizando la constante de estructura fina : ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }/2\pi }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }=\alpha {\frac {\lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.}$

Átomo de hidrógeno y sistemas similares

El radio de Bohr incluyendo el efecto de la masa reducida en el átomo de hidrógeno viene dado por

${\displaystyle \ a_{0}^{*}\ ={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}a_{0},}$

donde es la masa reducida del sistema electrón-protón (siendo la masa del protón). El uso de la masa reducida es una generalización del problema de los dos cuerpos de la física clásica más allá del caso en el que la aproximación de que la masa del cuerpo en órbita es despreciable en comparación con la masa del cuerpo en órbita. Dado que la masa reducida del sistema electrón-protón es un poco menor que la masa del electrón, el radio de Bohr "reducido" es ligeramente mayor que el radio de Bohr ( metros). ${\textstyle \mu =m_{\text{e}}m_{\text{p}}/(m_{\text{e}}+m_{\text{p}})}$ ${\displaystyle m_{\text{p}}}$ ${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}\approx 5.2946541\times 10^{-11}}$

Este resultado se puede generalizar a otros sistemas, como el positronio (un electrón que orbita un positrón ) y el muonio (un electrón que orbita un antimuón ) utilizando la masa reducida del sistema y considerando el posible cambio en la carga. Típicamente, las relaciones del modelo de Bohr (radio, energía, etc.) se pueden modificar fácilmente para estos sistemas exóticos (hasta el orden más bajo) simplemente reemplazando la masa del electrón con la masa reducida para el sistema (así como ajustando la carga cuando sea apropiado). Por ejemplo, el radio del positronio es aproximadamente , ya que la masa reducida del sistema de positronio es la mitad de la masa del electrón ( ). ${\displaystyle 2\,a_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2}$

Un átomo similar al hidrógeno tendrá un radio de Bohr que se escala principalmente como , con el número de protones en el núcleo. Mientras tanto, la masa reducida ( ) solo se aproxima mejor con en el límite de aumento de la masa nuclear. Estos resultados se resumen en la ecuación ${\displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$

${\displaystyle r_{Z,\mu }\ ={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}.}$

A continuación se muestra una tabla de relaciones aproximadas.

Véase también

• Magneto de Bohr
• Energía Rydberg

Referencias

1. "Valor CODATA 2022: radio de Bohr". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
2. El número entre paréntesis denota la incertidumbre de los últimos dígitos.
3. David J. Griffiths , Introducción a la mecánica cuántica , Prentice-Hall, 1995, pág. 137. ISBN 0-13-124405-1 
4. Nave, Rod. "El radio más probable: estado fundamental del hidrógeno". HyperPhysics . Departamento de Física y Astronomía, Universidad Estatal de Georgia . Consultado el 2 de octubre de 2021 . La ecuación de Schrödinger confirma el primer radio de Bohr como el radio más probable.

Enlaces externos

• Escalas de longitud en física: el radio de Bohr