Cuasinorma

En álgebra lineal , análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , una cuasinorma es similar a una norma en que satisface los axiomas de la norma, excepto que la desigualdad triangular se reemplaza por para algunos $${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}$$ ${\displaystyle K>1.}$

Definición

ALa cuasi-seminorma ^[1]en un espacio vectoriales una función de valor realquesatisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. No negatividad : ${\displaystyle p\geq 0;}$
2. Homogeneidad absoluta :para todosy cada uno de los escalares ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s;}$
3. existe un real tal que para todos ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Si entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular . Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular usual. ${\displaystyle k=1}$

ALa cuasinorma ^[1]es una cuasiseminorma que también satisface:

4. Definitivo positivo /Separación de puntos : sisatisfaceentonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

Un par que consiste en un espacio vectorial y una cuasi-seminorma asociada se denomina ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$Espacio vectorial cuasi-seminorma . Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se denominaespacio vectorial cuasinorm

Multiplicador

El ínfimo de todos los valores que satisfacen la condición (3) se llama ${\displaystyle k}$El multiplicador en sí también satisfará la condición (3) y, por lo tanto, es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término-cuasi-seminormase utiliza a veces para describir una cuasi-seminorma cuyo multiplicador es igual a ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k.}$

Una norma (respectivamente, una seminorma ) es simplemente una cuasinorma (respectivamente, una cuasiseminorma) cuyo multiplicador es Por lo tanto, cada seminorma es una cuasiseminorma y cada norma es una cuasinorma (y una cuasiseminorma). ${\displaystyle 1.}$

Topología

Si es una cuasinorma en entonces induce una topología vectorial en cuya base de vecindad en el origen está dada por los conjuntos: ^[2] como rangos sobre los enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con tal topología se denomina ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1/n\}}$$ ${\displaystyle n}$espacio vectorial topológico cuasinormizado o simplemente unespacio cuasinorm

Todo espacio vectorial topológico cuasinormizado es pseudometrizable .

Un espacio cuasinormificado completo se denominaEspacio cuasi-Banach . Todoespacio de Banaches un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

Definiciones relacionadas

Un espacio cuasinormizado se llama ${\displaystyle (A,\|\,\cdot \,\|)}$álgebra cuasinorma si el espacio vectoriales unálgebray existe una constantetal que para todo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K>0}$ $${\displaystyle \|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|}$$ ${\displaystyle x,y\in A.}$

Un álgebra cuasinormida completa se llamaÁlgebra cuasi-Banach .

Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico (TVS) es un espacio cuasinormado si y solo si tiene un vecindario acotado del origen. ^[2]

Ejemplos

Dado que toda norma es una cuasinorma, todo espacio normado es también un espacio cuasinormado.

${\displaystyle L^{p}}$espacios con ${\displaystyle 0<p<1}$

Los espacios para son espacios cuasinormados (de hecho, incluso son F-espacios ) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Porque el espacio de Lebesgue es un TVS metrizable completo (un F-espacio ) que no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son él mismo y el conjunto vacío) y el único funcional lineal continuo en es la función constante (Rudin 1991, §1.47). En particular, el teorema de Hahn-Banach no se cumple para cuando ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$

Véase también

• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Seminorm  – Función matemática
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

1. Kalton 1986, págs. 297–324.
2. Wilansky 2013, pág. 55.

• Aull, Charles E.; Robert Lowen (2001). Manual de historia de la topología general . Springer . ISBN 0-7923-6970-X.
• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Springer . ISBN. 0-387-97245-5.
• Kalton, N. (1986). "Funciones plurisubarmónicas en espacios cuasi-Banach" (PDF) . Studia Mathematica . 84 (3). Instituto de Matemáticas, Academia Polaca de Ciencias: 297–324. doi :10.4064/sm-84-3-297-324. ISSN  0039-3223.
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992). Análisis funcional I: análisis funcional lineal . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 19. Springer . ISBN 3-540-50584-9.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . CRC Press . ISBN 0-8247-8643-2.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .