Cúspide (singularidad)

En matemáticas , una cúspide , a veces llamada espinodo en textos antiguos, es un punto en una curva donde un punto en movimiento debe invertir la dirección. En la figura se da un ejemplo típico. Una cúspide es, pues, un tipo de punto singular de una curva .

Para una curva plana definida por una ecuación paramétrica analítica

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}

una cúspide es un punto donde ambas derivadas de $f$ y $g$ son cero, y la derivada direccional , en la dirección de la tangente , cambia de signo (la dirección de la tangente es la dirección de la pendiente ). Las cúspides son singularidades locales en el sentido de que involucran solo un valor del parámetro $t$ , en contraste con los puntos de autointersección que involucran más de un valor. En algunos contextos, se puede omitir la condición de la derivada direccional, aunque, en este caso, la singularidad puede parecer un punto regular. $\lim(g'(t)/f'(t))$

Para una curva definida por una ecuación implícita

F(x,y)=0,

que es suave , las cúspides son puntos donde los términos de menor grado de la expansión de Taylor de $F$ son una potencia de un polinomio lineal ; sin embargo, no todos los puntos singulares que tienen esta propiedad son cúspides. La teoría de las series de Puiseux implica que, si $F$ es una función analítica (por ejemplo un polinomio ), un cambio lineal de coordenadas permite parametrizar la curva , en una vecindad de la cúspide, como

{\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}

donde $a$ es un número real , $m$ es un entero par positivo y $S (t)$ es una serie de potencias de orden $k$ (grado del término distinto de cero del grado más bajo) mayor que $m$ . El número $m$ a veces se denomina orden o multiplicidad de la cúspide y es igual al grado de la parte distinta de cero del grado más bajo de $F.$ En algunos contextos, la definición de cúspide se restringe al caso de cúspides de orden dos, es decir, el caso en el que $m = 2$ .

René Thom y Vladimir Arnold han generalizado las definiciones de curvas planas y curvas definidas implícitamente a curvas definidas por funciones diferenciables : una curva tiene una cúspide en un punto si hay un difeomorfismo de una vecindad del punto en el espacio ambiental, que traza la curva en una de las cúspides definidas anteriormente.

Clasificación en geometría diferencial.

Considere una función suave de valor real $de$ dos variables , digamos $f (x, y)$ donde $xey$ son números reales . Entonces $f$ es una función desde el plano hasta la recta. El espacio de todas estas funciones suaves se ve afectado por el grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la línea, es decir, cambios difeomorfos de coordenadas tanto en el origen como en el destino . Esta acción divide todo el espacio funcional en clases de equivalencia , es decir, órbitas de la acción grupal .

Una de esas familias de clases de equivalencia se denota por donde $k$ es un número entero no negativo. Se dice que una función $f$ es de tipo si se encuentra en la órbita de , es decir, existe un cambio difeomorfo de coordenadas en el origen y el objetivo que toma $f$ en una de estas formas. Se dice que estas formas simples dan formas normales para las singularidades tipo. Observe que son iguales que ya que el cambio difeomorfo de coordenada en la fuente lleva a Entonces podemos eliminar el ± de la notación. $A_{k}^{\pm},$ $A_{k}^{\pm }$ $x^{2}\pm y^{k+1},$ $x^{2}\pm y^{k+1}$ $A_{k}^{\pm }$ $A_{2n}^{+}$ $A_{2n}^{-}$ $(x,y)\to (x,-y)$ $x^{2}+y^{k+1}$ $x^{2}-y^{2n+1}.$ $A_{2n}^{\pm }$

Las cúspides vienen entonces dadas por los conjuntos de nivel cero de los representantes de las clases de equivalencia, donde $n$ $\geq 1$ es un número entero. ^[^{cita necesaria}^] $A_{2n}$

Ejemplos

Una cúspide en la parábola semicúbica $y^{2}=x^{3}$

Una cúspide ordinaria está dada, por ejemplo, por el conjunto de nivel cero de una singularidad de _tipoA2 . Sea f ( x , y ) una función suave de x e y y supongamos, por simplicidad, que f (0, 0) = 0 . Entonces una singularidad tipo A ₂ de f en (0, 0) se puede caracterizar por: $x^{2}-y^{3}=0,$
1. Tener una parte cuadrática degenerada, es decir, los términos cuadráticos de la serie de Taylor de $f$ forman un cuadrado perfecto, digamos $L (x, y) 2$ , donde $L (x, y)$ es lineal en $x$ e $y$ , y
2. $L (x, y)$ no divide los términos cúbicos en la serie de Taylor de $f (x, y)$ .
Una cúspide ramfoidea (del griego 'en forma de pico') denota originalmente una cúspide tal que ambas ramas están en el mismo lado de la tangente, como en el caso de la curva de la ecuación. Como tal singularidad está en la misma clase diferencial que la cúspide de ecuación que es una singularidad de tipo $A$ $4$ , el término se ha extendido a todas esas singularidades. Estas cúspides no son genéricas como las cáusticas y los frentes de onda . La cúspide ramphoides y la cúspide ordinaria no son difeomorfas. Una forma paramétrica es $x^{2}-x^{4}-y^{5}=0.$ $x^{2}-y^{5}=0,$ $x=t^{2},\,y=ax^{4}+x^{5}.$

Para una singularidad tipo $A 4$ necesitamos que $f$ tenga una parte cuadrática degenerada (esto da el tipo $A \geq2$ ), que $L$ divida los términos cúbicos (esto da el tipo $A \geq3$ ), otra condición de divisibilidad (dando el tipo $A \geq4$ ), y una condición final de no divisibilidad (dando el tipo exactamente $A 4$ ).

Para ver de dónde provienen estas condiciones adicionales de divisibilidad, supongamos que $f$ tiene una parte cuadrática degenerada $L 2$ y que $L$ divide los términos cúbicos. De ello se deduce que la serie de Taylor de tercer orden de $f$ está dada por donde $Q$ es cuadrático en $x$ e $y$ . Podemos completar el cuadrado para mostrar que ahora podemos hacer un cambio difeomórfico de variable (en este caso simplemente sustituimos polinomios con partes lineales linealmente independientes ) de modo que donde $P$ $1$ sea cuártico (orden cuatro) en $x$ $1$ e $y$ $1$ . La condición de divisibilidad para el tipo $A$ $\geq4$ es que $x$ $1$ divide $a P$ $1$ . Si $x$ $1$ no divide $a P$ $1$ , entonces tenemos que escribir exactamente $A$ $3$ (el conjunto de nivel cero aquí es un tacnode ). Si $x$ $1$ divide a $P$ $1$ , completamos el cuadrado y cambiamos las coordenadas para que tengamos dónde $P$ $2$ es quíntico (orden cinco) en $x$ $2$ e $y$ $2$ . Si $x$ $2$ no divide $a P$ $2$ entonces tenemos exactamente el tipo $A$ $4$ , es decir, el conjunto de nivel cero será una cúspide ramfoidea. $L^{2}\pm LQ,$ $L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.$ $(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}$ $x_{1}^{2}+P_{1}$ $x_{2}^{2}+P_{2}$

Aplicaciones

Una cúspide ordinaria que se produce como la cáustica de los rayos de luz en el fondo de una taza de té.

Las cúspides aparecen de forma natural al proyectar en un plano una curva suave en el espacio euclidiano tridimensional . En general, dicha proyección es una curva cuyas singularidades son puntos de autocruce y cúspides ordinarias. Los puntos de autocruce aparecen cuando dos puntos diferentes de las curvas tienen la misma proyección. Las cúspides ordinarias aparecen cuando la tangente a la curva es paralela a la dirección de proyección (es decir, cuando la tangente se proyecta en un solo punto). Singularidades más complicadas ocurren cuando varios fenómenos ocurren simultáneamente. Por ejemplo, las cúspides ramphoides ocurren para puntos de inflexión (y para puntos de ondulación ) para los cuales la tangente es paralela a la dirección de proyección.

En muchos casos, y típicamente en visión por computadora y gráficos por computadora , la curva que se proyecta es la curva de los puntos críticos de la restricción a un objeto espacial (liso) de la proyección. Una cúspide aparece así como una singularidad del contorno de la imagen del objeto (visión) o de su sombra (gráficos por ordenador).

Las cáusticas y los frentes de onda son otros ejemplos de curvas que tienen cúspides visibles en el mundo real.

Ver también

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Referencias

Bruce, JW; Giblin, Peter (1984). Curvas y Singularidades . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-42999-3.
Porteous, Ian (1994). Diferenciación geométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-39063-7.

enlaces externos

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