Pseudocomplemento

En matemáticas , particularmente en teoría del orden , un pseudocomplemento es una generalización de la noción de complemento . En una red L con elemento inferior 0, se dice que un elemento x ∈ L tiene un pseudocomplemento si existe un elemento mayor x * ∈ L con la propiedad de que x ∧ x * = 0. Más formalmente, x * = max{ y ∈ L | x ∧ y = 0 }. La red L en sí misma se llama red pseudocomplementada si cada elemento de L es pseudocomplementado. Cada red pseudocomplementada está necesariamente acotada , es decir, también tiene un 1. Dado que el pseudocomplemento es único por definición (si existe), una red pseudocomplementada puede estar dotada de una operación unaria * que asigna cada elemento a su pseudocomplemento; esta estructura a veces se llama p -álgebra . ^{[1] [2]} Sin embargo, este último término puede tener otros significados en otras áreas de las matemáticas.

Propiedades

En una p -álgebra L , para todos ^{[1] [2]} ${\displaystyle x,y\in L:}$

• La función x ↦ x * es antítona . En particular, 0* = 1 y 1* = 0.
• El mapa x ↦ x ** es un cierre .
• x * = x ***.
• ( x ∨ y )* = x * ∧ y *.
• ( x ∧ y )** = x ** ∧ y **.

El conjunto S ( L ) ≝ { x ** | x ​​∈ L } se denomina esqueleto de L . S ( L ) es una ∧- subsemirretícula de L y junto con x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( x * ∧ y *)* forma un álgebra de Boole (el complemento en esta álgebra es *). ^{[1] [2]} En general, S ( L ) no es una subred de L . ^[2] En un p -álgebra distributiva , S ( L ) es el conjunto de elementos complementados de L . ^[1]

Todo elemento x con la propiedad x * = 0 (o equivalentemente, x ** = 1) se llama denso . Todo elemento de la forma x ∨ x * es denso. D ( L ), el conjunto de todos los elementos densos en L es un filtro de L. ^{[1] [2] Una} p -álgebra distributiva es booleana si y solo si D ( L ) = {1}. ^[1]

Las redes pseudocomplementadas forman una variedad ; de hecho, también lo hacen las semirredes pseudocomplementadas. ^[3]

Ejemplos

• Toda red distributiva finita está pseudocomplementada. ^[1]
• Toda álgebra de Stone es pseudocomplementada. De hecho, un álgebra de Stone puede definirse como una red distributiva pseudocomplementada L en la que cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes se cumple para todas las ^[1] ${\displaystyle x,y\in L:}$
  • S ( L ) es una subred de L ;
  • ( x ∧ y )* = x * ∨ y *;
  • ( x ∨ y )** = x ** ∨ y **;
  • x * ∨ x ** = 1.
• Toda álgebra de Heyting es pseudocomplementada. ^[1]
• Si X es un espacio topológico , la topología (de conjunto abierto) en X es una red pseudocomplementada (y distributiva) en la que el encuentro y la unión son la unión e intersección habituales de los conjuntos abiertos. El pseudocomplemento de un conjunto abierto A es el interior del complemento de conjunto de A. Además, los elementos densos de esta red son exactamente los subconjuntos abiertos densos en el sentido topológico. ^[2]

Pseudocomplemento relativo

Un pseudocomplemento relativo de a con respecto a b es un elemento máximo c tal que a ∧ c ≤ b . Esta operación binaria se denota a → b . Una red con el pseudocomplemento para cada dos elementos se llama red implicativa o red de Brouwer . En general, una red implicativa puede no tener un elemento mínimo. Si existe tal elemento mínimo, entonces cada pseudocomplemento a * podría definirse utilizando pseudocomplemento relativo como a → 0. ^[4]

Véase también

• Red vectorial topológica

Referencias

1. TS Blyth (2006). Redes y estructuras algebraicas ordenadas . Springer Science & Business Media. Capítulo 7. Pseudocomplementación; Álgebras de Stone y Heyting. Págs. 103–119. ISBN 978-1-84628-127-3.
2. Clifford Bergman (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . CRC Press. págs. 63–70. ISBN 978-1-4398-5129-6.
3. Balbes, Raymond; Horn, Alfred (septiembre de 1970). "Entramados de piedra". Duke Math. J. 37 (3): 537–545. doi :10.1215/S0012-7094-70-03768-3.
4. Birkhoff, Garrett (1973). Teoría de retículos (3.ª ed.). AMS. pág. 44.