Prueba de rangos con signo de Wilcoxon

Prueba de hipótesis estadística

La prueba de rangos con signo de Wilcoxon es una prueba de hipótesis estadística no paramétrica que se utiliza para probar la ubicación de una población basándose en una muestra de datos o para comparar las ubicaciones de dos poblaciones utilizando dos muestras coincidentes. ^{[1] La versión de una muestra tiene un propósito similar al de la} prueba t de Student de una muestra . ^[2] Para dos muestras pareadas, es una prueba de diferencias pareadas como la prueba t de Student pareada (también conocida como " prueba t para pares pareados" o " prueba t para muestras dependientes"). La prueba de Wilcoxon puede ser una buena alternativa a la prueba t cuando las medias poblacionales no son de interés; por ejemplo, cuando se desea comprobar si la mediana de una población es distinta de cero o si existe una probabilidad superior al 50% de que una muestra de una población sea mayor que una muestra de otra población.

Historia

La prueba lleva el nombre de Frank Wilcoxon (1892-1965), quien, en un solo artículo, propuso tanto esta prueba como la prueba de suma de rangos para dos muestras independientes. ^[3] La prueba fue popularizada por Sidney Siegel (1956) en su influyente libro de texto sobre estadística no paramétrica. ^[4] Siegel utilizó el símbolo T para el estadístico de prueba y, en consecuencia, la prueba a veces se denomina prueba T de Wilcoxon .

Procedimiento de prueba

Hay dos variantes de la prueba de rangos con signo. Desde un punto de vista teórico, la prueba de una muestra es más fundamental porque la prueba de muestras pareadas se realiza convirtiendo los datos a la situación de la prueba de una muestra. Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones prácticas de la prueba de rangos con signo surgen de datos pareados.

Para una prueba de muestras pareadas, los datos constan de muestras . Cada muestra es un par de medidas. En el caso más sencillo, las mediciones se realizan en una escala de intervalos . Luego se pueden convertir a números reales y la prueba de muestras pareadas se convierte en una prueba de una muestra reemplazando cada par de números por su diferencia . ^[5] En general, debe ser posible clasificar las diferencias entre los pares. Esto requiere que los datos estén en una escala métrica ordenada , un tipo de escala que contiene más información que una escala ordinal pero que puede tener menos que una escala de intervalo. ^[6] ${\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\dots ,(X_{n},Y_{n})}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$

Los datos para una prueba de una muestra son un conjunto de muestras de números reales . Por simplicidad, supongamos que las muestras tienen valores absolutos distintos y que ninguna muestra es igual a cero. (Los ceros y los empates introducen varias complicaciones; consulte a continuación). La prueba se realiza de la siguiente manera: ^{[7] [8]} ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

1. Calcular . ${\displaystyle |X_{1}|,\dots ,|X_{n}|}$
2. Ordene y utilice esta lista ordenada para asignar rangos : el rango de la observación más pequeña es uno, el rango de la siguiente más pequeña es dos, y así sucesivamente. ${\displaystyle |X_{1}|,\dots ,|X_{n}|}$ ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n}}$
3. Denotemos la función de signo : si y si . El estadístico de prueba es la suma de rangos con signo : ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=1}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=-1}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle T}$
   $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {sgn}(X_{i})R_{i}.}$$
4. Produzca un valor comparándolo con su distribución bajo la hipótesis nula. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

Los rangos se definen de modo que sea el número de para los cuales . Además, si es tal que , entonces para todos . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle |X_{j}|\leq |X_{i}|}$ ${\displaystyle \sigma \colon \{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle |X_{\sigma (1)}|<\dots <|X_{\sigma (n)}|}$ ${\displaystyle R_{\sigma (i)}=i}$ ${\displaystyle i}$

La suma de rangos con signo está estrechamente relacionada con otras dos estadísticas de prueba. La suma de rango positivo y la suma de rango negativo están definidas por ^[9] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle T^{-}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}&=\sum _{1\leq i\leq n,\ X_{i}>0}R_{i},\\T^{-}&=\sum _{1\leq i\leq n,\ X_{i}<0}R_{i}.\end{aligned}}}$$

^[10] ${\displaystyle T^{+}+T^{-}}$ ${\displaystyle 1+2+\dots +n=n(n+1)/2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}&={\frac {n(n+1)}{2}}-T^{-}={\frac {n(n+1)}{4}}+{\frac {T}{2}},\\T^{-}&={\frac {n(n+1)}{2}}-T^{+}={\frac {n(n+1)}{4}}-{\frac {T}{2}},\\T&=T^{+}-T^{-}=2T^{+}-{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}-2T^{-}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle T^{-}}$

La suma de rangos positivos y la suma de rangos negativos tienen interpretaciones alternativas que son útiles para la teoría detrás de la prueba. Defina el promedio de Walsh como . Entonces: ^[11] ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(X_{i}+X_{j})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}=\#\{W_{ij}>0\colon 1\leq i\leq j\leq n\},\\T^{-}=\#\{W_{ij}<0\colon 1\leq i\leq j\leq n\}.\end{aligned}}}$$

Hipótesis nulas y alternativas

Prueba de una muestra

La prueba de rangos con signo de Wilcoxon para una muestra se puede utilizar para probar si los datos provienen de una población simétrica con una mediana específica. ^[12] Si se conoce la mediana de la población, entonces se puede utilizar para probar si los datos son simétricos con respecto a su centro. ^[13]

Para explicar formalmente las hipótesis nula y alternativa, supongamos que los datos consisten en muestras independientes e idénticamente distribuidas de una distribución . Si y son variables aleatorias distribuidas por IID, defina como la función de distribución acumulativa de . Colocar ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{(2)}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(X_{1}+X_{2})}$

$${\displaystyle p_{2}=\Pr({\tfrac {1}{2}}(X_{1}+X_{2})>0)=1-F^{(2)}(0).}$$

^[14] ${\displaystyle F}$

Hipótesis nula H ₀

${\displaystyle p_{2}={\tfrac {1}{2}}}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

${\displaystyle p_{2}>{\tfrac {1}{2}}}$.

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

${\displaystyle p_{2}<{\tfrac {1}{2}}}$.

Hipótesis alternativa bilateral H ₃

${\displaystyle p_{2}\neq {\tfrac {1}{2}}}$.

La hipótesis alternativa que se prueba depende de si el estadístico de prueba se utiliza para calcular un valor p unilateral o bilateral (y si es unilateral, de qué lado). Si es una cantidad fija y predeterminada, entonces la prueba también se puede utilizar como prueba para el valor de restando de cada punto de datos. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Pr({\tfrac {1}{2}}(X_{1}+X_{2})>\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$

Las hipótesis nula y alternativa anteriores se derivan del hecho de que es un estimador consistente de . ^[15] También puede derivarse de la descripción de y en términos de promedios de Walsh, ya que esa descripción muestra que la prueba de Wilcoxon es la misma que la prueba de signos aplicada al conjunto de promedios de Walsh. ^[dieciséis] ${\displaystyle 2T^{+}/n^{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle T^{-}}$

Restringir las distribuciones de intereses puede conducir a hipótesis nulas y alternativas más interpretables. Una suposición levemente restrictiva es que tiene una mediana única. Esta mediana se llama pseudomediana de ; en general es diferente de la media y la mediana, incluso cuando las tres existen. Si se puede asumir que la existencia de una pseudomediana única es cierta tanto bajo la hipótesis nula como alternativa, entonces estas hipótesis pueden reformularse como: ${\displaystyle F^{(2)}}$ ${\displaystyle F}$

Hipótesis nula H ₀

La pseudomediana de se sitúa en cero. ${\displaystyle F}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

La pseudomediana de se ubica en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu <0}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

La pseudomediana de se ubica en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu >0}$

Hipótesis alternativa bilateral H ₃

La pseudomediana de se ubica en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu \neq 0}$

Muy a menudo, las hipótesis nula y alternativa se plantean bajo el supuesto de simetría. Fijar un número real . Defina como simétrica si una variable aleatoria con distribución satisface para todos . Si tiene una función de densidad , entonces es simétrica respecto de si y sólo si para cada . ^[17] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -x)=\Pr(X\geq \mu +x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(\mu +x)=f(\mu -x)}$ ${\displaystyle x}$

Si las distribuciones nula y alternativa de pueden asumirse simétricas, entonces las hipótesis nula y alternativa se simplifican a lo siguiente: ^[18] ${\displaystyle F}$

Hipótesis nula H ₀

${\displaystyle F}$es simétrico respecto a . ${\displaystyle \mu =0}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

${\displaystyle F}$es simétrico respecto a . ${\displaystyle \mu <0}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

${\displaystyle F}$es simétrico respecto a . ${\displaystyle \mu >0}$

Hipótesis alternativa bilateral H ₃

${\displaystyle F}$es simétrico respecto a . ${\displaystyle \mu \neq 0}$

Si además , entonces es una mediana de . Si esta mediana es única, entonces la prueba de suma de rangos con signo de Wilcoxon se convierte en una prueba para la ubicación de la mediana. ^[19] Cuando se define la media de , entonces la media es , y la prueba también es una prueba para la ubicación de la media. ^[20] ${\displaystyle \Pr(X=\mu )=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$

La restricción de que la distribución alternativa sea simétrica es muy restrictiva, pero para pruebas unilaterales puede debilitarse. Digamos que es estocásticamente más pequeño que una distribución simétrica con respecto a cero si una variable aleatoria distribuida satisface para todos . De manera similar, es estocásticamente mayor que una distribución simétrica con respecto a cero si es para todos . Entonces, la prueba de suma de rangos con signo de Wilcoxon también se puede utilizar para las siguientes hipótesis nulas y alternativas: ^{[21] [22]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Pr(X<-x)\geq \Pr(X>x)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Pr(X<-x)\leq \Pr(X>x)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$

Hipótesis nula H ₀

${\displaystyle F}$es simétrico respecto a . ${\displaystyle \mu =0}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

${\displaystyle F}$es estocásticamente más pequeño que una distribución simétrica con respecto a cero.

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

${\displaystyle F}$es estocásticamente mayor que una distribución simétrica con respecto a cero.

La hipótesis de que los datos son IID puede debilitarse. Cada punto de datos puede tomarse de una distribución diferente, siempre y cuando se suponga que todas las distribuciones son continuas y simétricas con respecto a un punto común . No es necesario que los puntos de datos sean independientes siempre que la distribución condicional de cada observación dadas las demás sea simétrica . ^[23] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Prueba de datos emparejados

Debido a que la prueba de datos pareados surge de tomar diferencias pareadas, sus hipótesis nula y alternativa pueden derivarse de las de la prueba de una muestra. En cada caso, se convierten en afirmaciones sobre el comportamiento de las diferencias . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$

Sea la distribución acumulativa conjunta de los pares . Si es continua, entonces las hipótesis nula y alternativa más generales se expresan en términos de ${\displaystyle F(x,y)}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle p_{2}=\Pr({\tfrac {1}{2}}(X_{i}-Y_{i}+X_{j}-Y_{j})>0)}$$

Hipótesis nula H ₀

${\displaystyle p_{2}={\tfrac {1}{2}}}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

${\displaystyle p_{2}>{\tfrac {1}{2}}}$.

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

${\displaystyle p_{2}<{\tfrac {1}{2}}}$.

Hipótesis alternativa bilateral H ₃

${\displaystyle p_{2}\neq {\tfrac {1}{2}}}$.

Al igual que en el caso de una muestra, bajo algunas restricciones la prueba puede interpretarse como una prueba para determinar si la pseudomediana de las diferencias se encuentra en cero.

Una restricción común es la de distribuciones simétricas de diferencias. En este caso, las hipótesis nula y alternativa son: ^{[24] [25]}

Hipótesis nula H ₀

Las observaciones son simétricas respecto a . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle \mu =0}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

Las observaciones son simétricas respecto a . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle \mu <0}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

Las observaciones son simétricas respecto a . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle \mu >0}$

Hipótesis alternativa bilateral H ₃

Las observaciones son simétricas respecto a . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle \mu \neq 0}$

Estos también se pueden expresar más directamente en términos de los pares originales: ^[26]

Hipótesis nula H ₀

Las observaciones son intercambiables , es decir, y tienen la misma distribución. De manera equivalente, . ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle (Y_{i},X_{i})}$ ${\displaystyle F(x,y)=F(y,x)}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

Para algunos , los pares y tienen la misma distribución. ${\displaystyle \mu <0}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle (Y_{i}+\mu ,X_{i}-\mu )}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

Para algunos , los pares y tienen la misma distribución. ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle (Y_{i}+\mu ,X_{i}-\mu )}$

Hipótesis alternativa bilateral H ₃

Para algunos , los pares y tienen la misma distribución. ${\displaystyle \mu \neq 0}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle (Y_{i}+\mu ,X_{i}-\mu )}$

La hipótesis nula de intercambiabilidad puede surgir de un experimento de pares emparejados con un grupo de tratamiento y un grupo de control. La aleatorización del tratamiento y el control dentro de cada par hace que las observaciones sean intercambiables. Para una distribución intercambiable, tiene la misma distribución que y, por lo tanto, bajo la hipótesis nula, la distribución es simétrica con respecto a cero. ^[27] ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}-X_{i}}$

Debido a que la prueba de una muestra se puede utilizar como prueba unilateral para la dominancia estocástica, la prueba de Wilcoxon de diferencias pareadas se puede utilizar para comparar las siguientes hipótesis: ^[28]

Hipótesis nula H ₀

Las observaciones son intercambiables. ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₁

Las diferencias son estocásticamente más pequeñas que una distribución simétrica con respecto a cero, es decir, para cada , . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle Pr(X_{i}<Y_{i}-x)\geq \Pr(X_{i}>Y_{i}+x)}$

Hipótesis alternativa unilateral H ₂

Las diferencias son estocásticamente mayores que una distribución simétrica con respecto a cero, es decir, para cada , . ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle Pr(X_{i}<Y_{i}-x)\leq \Pr(X_{i}>Y_{i}+x)}$

Ceros y lazos

En datos reales, a veces sucede que hay una muestra que es igual a cero o un par con . También puede ocurrir que haya muestras empatadas. Esto significa que para algunos tenemos (en el caso de una muestra) o (en el caso de muestras pareadas). Esto es particularmente común para datos discretos. Cuando esto sucede, el procedimiento de prueba definido anteriormente generalmente no está definido porque no hay forma de clasificar los datos de manera única. (La única excepción es si hay una única muestra que es cero y ningún otro cero o empate). Debido a esto, es necesario modificar la estadística de prueba. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}=Y_{i}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle X_{i}=X_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}-Y_{i}=X_{j}-Y_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Ceros

El artículo original de Wilcoxon no abordaba la cuestión de las observaciones (o, en el caso de la muestra pareada, las diferencias) que son iguales a cero. Sin embargo, en encuestas posteriores recomendó eliminar ceros de la muestra. ^[29] Luego, la prueba estándar de rangos con signo podría aplicarse a los datos resultantes, siempre y cuando no hubiera empates. Esto ahora se llama procedimiento de muestra reducida.

Pratt ^[30] observó que el procedimiento de muestra reducida puede conducir a un comportamiento paradójico. Da el siguiente ejemplo. Supongamos que estamos en la situación de una muestra y tenemos las siguientes trece observaciones:

0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 17, −18.

El procedimiento de muestra reducida elimina el cero. A los datos restantes les asigna los rangos firmados:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, −12.

Esto tiene un valor p unilateral de y, por lo tanto, la muestra no es significativamente positiva en ningún nivel de significancia . Pratt sostiene que uno esperaría que la disminución de las observaciones no hiciera que los datos parecieran más positivos. Sin embargo, si la observación cero se reduce en una cantidad menor que 2, o si todas las observaciones se reducen en una cantidad menor que 1, entonces los rangos con signo se convierten en: ${\displaystyle 55/2^{12}}$ ${\displaystyle \alpha <55/2^{12}\approx 0.0134}$

−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, −13.

Esto tiene un valor p unilateral de . Por lo tanto, la muestra se consideraría significativamente positiva en cualquier nivel de significancia . La paradoja es que, si está entre y , entonces disminuir una muestra insignificante hace que parezca significativamente positiva . ${\displaystyle 109/2^{13}}$ ${\displaystyle \alpha >109/2^{13}\approx 0.0133}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 109/2^{13}}$ ${\displaystyle 55/2^{12}}$

Por lo tanto, Pratt propuso el procedimiento de rango cero con signo. Este procedimiento incluye los ceros al clasificar las muestras. Sin embargo, los excluye de la estadística de prueba o, de manera equivalente, los define . Pratt demostró que el procedimiento de rango cero con signo tiene varios comportamientos deseables que no comparten el procedimiento de muestra reducida: ^[31] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$

1. El aumento de los valores observados no hace que una muestra significativamente positiva sea insignificante, y no hace que una muestra insignificante sea significativamente negativa.
2. Si la distribución de las observaciones es simétrica, entonces los valores que la prueba no rechaza forman un intervalo. ${\displaystyle \mu }$
3. Una muestra es significativamente positiva, no significativa o significativamente negativa, si y sólo si lo es cuando a los ceros se les asignan signos arbitrarios distintos de cero, si y sólo si es así cuando los ceros se reemplazan con valores distintos de cero que son menor en valor absoluto que cualquier observación distinta de cero.
4. Para un umbral de significancia fijo , y para una prueba que se aleatoriza para tener un nivel exacto , la probabilidad de considerar que un conjunto de observaciones es significativamente positivo (respectivamente, significativamente negativo) es una función no decreciente (respectivamente, no creciente) de las observaciones. . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Pratt señala que, cuando el procedimiento de rango cero con signo se combina con el procedimiento de rango promedio para resolver empates, la prueba resultante es una prueba consistente contra la hipótesis alternativa de que, para todos , y difieren en al menos una constante fija que es independiente de y . ^[32] ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \Pr(X_{i}+X_{j}>0)}$ ${\displaystyle \Pr(X_{i}+X_{j}<0)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

El procedimiento de cero de rango con signo tiene la desventaja de que, cuando aparecen ceros, la distribución nula del estadístico de prueba cambia, por lo que ya no se pueden utilizar tablas de valores p .

Cuando los datos están en una escala Likert con categorías igualmente espaciadas, es más probable que el procedimiento de rango cero con signo mantenga la tasa de error Tipo I que el procedimiento de muestra reducida. ^[33]

Desde el punto de vista de la eficiencia estadística, no existe una regla perfecta para manejar ceros. Conover encontró ejemplos de hipótesis nulas y alternativas que muestran que ni los métodos de Wilcoxon ni los de Pratt son uniformemente mejores que el otro. Al comparar una distribución uniforme discreta con una distribución donde las probabilidades aumentan linealmente de izquierda a derecha, el método de Pratt supera al de Wilcoxon. Al probar una distribución binomial centrada en cero para ver si el parámetro de cada ensayo de Bernoulli es , el método de Wilcoxon supera al de Pratt. ^[34] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Corbatas

Cuando los datos no tienen vínculos, los rangos se utilizan para calcular el estadístico de prueba. En caso de empate, los rangos no están definidos. Hay dos enfoques principales para resolver esto. ${\displaystyle R_{i}}$

El procedimiento más común para manejar los empates, y el recomendado originalmente por Wilcoxon, se denomina procedimiento de rango medio o de rango medio. Este procedimiento asigna números entre 1 yn a las observaciones, y dos observaciones obtienen el mismo número si y sólo si tienen el mismo valor absoluto. Estos números se denominan convencionalmente rangos aunque el conjunto de estos números no sea igual a (excepto cuando no hay empates). El rango asignado a una observación es el promedio de los rangos posibles que tendría si los empates se rompieran de todas las formas posibles. Una vez asignados los rangos, la estadística de prueba se calcula de la misma manera que de costumbre. ^{[35] [36]} ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

Por ejemplo, supongamos que las observaciones satisfacen

$${\displaystyle |X_{3}|<|X_{2}|=|X_{5}|<|X_{6}|<|X_{1}|=|X_{4}|=|X_{7}|.}$$

${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{5}}$ ${\displaystyle (2+3)/2=2.5}$ ${\displaystyle X_{6}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{4}}$ ${\displaystyle X_{7}}$ ${\displaystyle (5+6+7)/3=6}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (k+\ell )/2}$

Según el procedimiento de rango promedio, la distribución nula es diferente en presencia de empates. ^{[37] [38]} El procedimiento de rango promedio también tiene algunas desventajas que son similares a las del procedimiento de muestra reducida para ceros. Es posible que una muestra pueda considerarse significativamente positiva mediante el procedimiento de rango promedio; pero aumentar algunos de los valores para romper los vínculos, o romper los vínculos de cualquier forma, da como resultado una muestra que la prueba considera no significativa. ^{[39] [40]} Sin embargo, aumentar todos los valores observados en la misma cantidad no puede convertir un resultado significativamente positivo en uno insignificante, ni uno insignificante en uno significativamente negativo. Además, si las observaciones se distribuyen simétricamente, entonces los valores que la prueba no rechaza forman un intervalo. ^{[41] [42]} ${\displaystyle \mu }$

La otra opción común para manejar los empates es un procedimiento de desempate. En un procedimiento de desempate, a las observaciones se les asignan distintos rangos en el conjunto . El rango asignado a una observación depende de su valor absoluto y de la regla de desempate. A las observaciones con valores absolutos más pequeños siempre se les asignan rangos más pequeños, al igual que en la prueba estándar de suma de rangos. La regla de desempate se utiliza para asignar rangos a observaciones con el mismo valor absoluto. Una ventaja de las reglas de desempate es que permiten el uso de tablas estándar para calcular los valores p . ^[43] ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

El desempate aleatorio rompe los empates al azar. En el desempate aleatorio, la distribución nula es la misma que cuando no hay empates, pero el resultado de la prueba depende no sólo de los datos sino de elecciones aleatorias adicionales. Promediar las clasificaciones sobre las posibles elecciones aleatorias da como resultado el procedimiento de clasificación promedio. ^[44] También se podría informar la probabilidad de rechazo de todas las elecciones aleatorias. ^[45] El desempate aleatorio tiene la ventaja de que la probabilidad de que una muestra se considere significativamente positiva no disminuye cuando se aumentan algunas observaciones. ^[46] El desempate conservador rompe los empates a favor de la hipótesis nula. Cuando se realiza una prueba unilateral en la que los valores negativos de tienden a ser más significativos, los empates se rompen asignando rangos más bajos a las observaciones negativas y rangos más altos a las positivas. Cuando la prueba hace que los valores positivos de sean significativos, los empates se rompen en el sentido contrario, y cuando los valores absolutos grandes de son significativos, los empates se rompen para que sean lo más pequeños posible. Pratt observa que cuando los empates son probables, el procedimiento conservador de desempate "presumiblemente tiene poco poder, ya que equivale a romper todos los empates a favor de la hipótesis nula". ^[47] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |T|}$

El procedimiento de clasificación promedio puede estar en desacuerdo con los procedimientos de desempate. Pratt da el siguiente ejemplo. ^[48] ​​Supongamos que las observaciones son:

1, 1, 1, 1, 2, 3, −4.

El procedimiento de rango promedio les asigna los rangos firmados.

2,5, 2,5, 2,5, 2,5, 5, 6, −7.

Esta muestra es significativamente positiva a nivel unilateral . Por otra parte, cualquier regla de desempate asignará los rangos ${\displaystyle \alpha =14/2^{7}}$

1, 2, 3, 4, 5, 6, −7.

Al mismo nivel unilateral , esto no es significativo. ${\displaystyle \alpha =14/2^{7}}$

Otras dos opciones para manejar los empates se basan en promediar los resultados del desempate. En el método estadístico promedio , el estadístico de prueba se calcula para todas las formas posibles de romper empates, y el estadístico final es la media de los estadísticos desempates. En el método de probabilidad promedio , el valor p se calcula para cada forma posible de romper empates, y el valor p final es la media de los valores p desempates . ^[49] ${\displaystyle T}$

Calcular la distribución nula

Calcular los valores p requiere conocer la distribución de bajo la hipótesis nula. No existe una fórmula cerrada para esta distribución. ^[50] Sin embargo, para valores pequeños de , la distribución se puede calcular exactamente. Bajo la hipótesis nula de que los datos son simétricos con respecto a cero, es exactamente tan probable que cada uno de ellos sea positivo como negativo. Por lo tanto la probabilidad de que bajo la hipótesis nula sea igual al número de combinaciones de signos que producen dividido por el número de combinaciones de signos posibles . Esto se puede utilizar para calcular la distribución exacta de bajo la hipótesis nula. ^[51] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle T=t}$ ${\displaystyle T=t}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle T}$

Calcular la distribución de considerando todas las posibilidades requiere calcular sumas, lo cual es intratable para todos excepto para los más pequeños . Sin embargo, existe una recursividad eficiente para la distribución de . ^{[52] [53]} Definido como el número de combinaciones de signos para las cuales . Esto es igual al número de subconjuntos que suman . Los casos base de la recursividad son , para todos , y para todos o . La fórmula recursiva es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle u_{n}(t^{+})}$ ${\displaystyle T^{+}=t^{+}}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle t^{+}}$ ${\displaystyle u_{0}(0)=1}$ ${\displaystyle u_{0}(t^{+})=0}$ ${\displaystyle t^{+}\neq 0}$ ${\displaystyle u_{n}(t^{+})=0}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>n(n+1)/2}$

$${\displaystyle u_{n}(t^{+})=u_{n-1}(t^{+})+u_{n-1}(t^{+}-n).}$$

función de partición^[54] ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle t^{+}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n-1\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n-1\}}$ ${\displaystyle t^{+}-n}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle \Pr(T^{+}=t^{+})=u_{n}(t^{+})/2^{n}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

Si es la probabilidad de que bajo la hipótesis nula cuando hay muestras, entonces satisfaga una recursividad similar: ^[55] ${\displaystyle p_{n}(t^{+})}$ ${\displaystyle T^{+}=t^{+}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}(t^{+})}$

$${\displaystyle 2p_{n}(t^{+})=p_{n-1}(t^{+})+p_{n-1}(t^{+}-n)}$$

^[56] ${\displaystyle \Pr(T^{+}\leq t^{+})}$

Para archivos muy grandes , incluso la recursividad anterior es demasiado lenta. En este caso, se puede aproximar la distribución nula. Las distribuciones nulas de , y son asintóticamente normales con medias y varianzas: ^[57] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle T^{-}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} [T^{+}]&=\mathbf {E} [T^{-}]={\frac {n(n+1)}{4}},\\\mathbf {E} [T]&=0,\\\operatorname {Var} (T^{+})&=\operatorname {Var} (T^{-})={\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}},\\\operatorname {Var} (T)&={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.\end{aligned}}}$$

Se pueden producir mejores aproximaciones utilizando expansiones de Edgeworth. El uso de una expansión de Edgeworth de cuarto orden muestra que: ^{[58] [59]}

$${\displaystyle \Pr(T^{+}\leq k)\approx \Phi (t)+\phi (t){\Big (}{\frac {3n^{2}+3n-1}{10n(n+1)(2n+1)}}{\Big )}(t^{3}-3t),}$$

$${\displaystyle t={\frac {k+{\tfrac {1}{2}}-{\frac {n(n+1)}{4}}}{\sqrt {\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}}}}.}$$

^[58] ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle O(n^{-3/2})}$

La función generadora de momentos tiene la fórmula exacta: ^[60] ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle M(t)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{j=1}^{n}(1+e^{jt}).}$$

Cuando hay ceros y se utiliza el procedimiento de cero de rango con signo, o cuando hay empates y se utiliza el procedimiento de rango promedio, la distribución nula de cambios. Cureton derivó una aproximación normal para esta situación. ^{[61] [62]} Supongamos que el número original de observaciones era y el número de ceros era . La corrección del empate es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle c=\sum t^{3}-t,}$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{+}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [T^{+}]={\frac {n(n+1)}{4}}-{\frac {z(z+1)}{4}}.}$$

$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)-z(z+1)(2z+1)-c/2}{6}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (T)&=\sigma ^{2},\\\operatorname {Var} (T^{+})&=\sigma ^{2}/4.\end{aligned}}}$$

Estadísticas alternativas

Wilcoxon ^[63] definió originalmente la estadística de suma de rangos de Wilcoxon como . Los primeros autores como Siegel ^[64] siguieron a Wilcoxon. Esto es apropiado para pruebas de hipótesis bilaterales, pero no se puede utilizar para pruebas unilaterales. ${\displaystyle \min(T^{+},T^{-})}$

En lugar de asignar rangos entre 1 y n , también es posible asignar rangos entre 0 y . Estos se denominan rangos modificados . ^[65] La suma de rangos con signo modificada , la suma de rangos positivos modificada y la suma de rangos negativos modificada se definen de manera análoga a , y pero con los rangos modificados en lugar de los rangos ordinarios. La probabilidad de que la suma de dos variables aleatorias distribuidas independientes sea positiva se puede estimar como . ^[66] Cuando la consideración se restringe a distribuciones continuas, este es un estimador insesgado de varianza mínima de . ^[67] ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}^{+}}$ ${\displaystyle T_{0}^{-}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{+}}$ ${\displaystyle T^{-}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2T_{0}^{+}/(n(n-1))}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Ejemplo

${\displaystyle \operatorname {sgn} }$es la función de signo , es el valor absoluto y es el rango . Observe que los pares 3 y 9 están empatados en valor absoluto. Ocuparían los puestos 1 y 2, por lo que cada uno obtiene el promedio de esos rangos, 1,5. ${\displaystyle {\text{abs}}}$ ${\displaystyle R_{i}}$

${\displaystyle W=1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9}$

${\displaystyle |W|<W_{\operatorname {crit} (\alpha =0.05,\ 9{\text{, two-sided}})}=15}$

${\displaystyle \therefore {\text{failed to reject }}H_{0}}$que la mediana de las diferencias por pares es distinta de cero.

El valor de este resultado es ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0.6113}$

Tamaño del efecto

Para calcular el tamaño del efecto para la prueba de rangos con signo, se puede utilizar la correlación biserial de rangos .

Si se informa la estadística de prueba T , la correlación de rango r es igual a la estadística de prueba T dividida por la suma total de rangos S , o  r  =  T / S .^[68] Utilizando el ejemplo anterior, el estadístico de prueba es T = 9. El tamaño de muestra de 9 tiene una suma de rango total de S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45 Por lo tanto, la correlación de rango es 9/45, por lo que r = 0,20.

Si se informa el estadístico de prueba T , una forma equivalente de calcular la correlación de rango es con la diferencia en proporción entre las dos sumas de rango, que es la fórmula de diferencia simple de Kerby (2014). ^[68] Para continuar con el ejemplo actual, el tamaño de la muestra es 9, por lo que la suma total de rangos es 45. T es la menor de las dos sumas de rangos, por lo que T es 3 + 4 + 5 + 6 = 18. A partir de esta información solo, se puede calcular la suma de rangos restante, porque es la suma total S menos T , o en este caso 45 − 18 = 27. A continuación, las dos proporciones de suma de rangos son 27/45 = 60% y 18/45 = 40%. Finalmente, la correlación de rango es la diferencia entre las dos proporciones (0,60 menos 0,40), por lo tanto r = 0,20.

Implementaciones de software

• R incluye una implementación de la prueba como wilcox.test(x,y, paired=TRUE), donde xey son vectores de igual longitud. ^[69]
• ALGLIB incluye la implementación de la prueba de rango con signo de Wilcoxon en C++, C#, Delphi, Visual Basic, etc.
• GNU Octave implementa varias versiones de prueba de una y dos colas en la wilcoxon_testfunción.
• SciPy incluye una implementación de la prueba de rango con signo de Wilcoxon en Python.
• Accord.NET incluye una implementación de la prueba de rango con signo de Wilcoxon en C# para aplicaciones .NET.
• MATLAB implementa esta prueba utilizando la "prueba de suma de rangos de Wilcoxon" ya que [p,h] = signrank(x,y) también devuelve un valor lógico que indica la decisión de la prueba. El resultado h = 1 indica un rechazo de la hipótesis nula, y h = 0 indica que no se rechazó la hipótesis nula al nivel de significancia del 5%.
• El paquete Julia HypothesisTests incluye la prueba de rango con signo de Wilcoxon como "valor (SignedRankTest (x, y))".
• SAS PROC UNIVARIATE incluye la prueba de rango firmada por Wilcoxon en los títulos del marco "Pruebas de ubicación" como "Rango firmado". Aunque este procedimiento calcula una estadística S en lugar de una estadística W, el valor p resultante aún se puede utilizar para esta prueba. ^[70]

Ver también

• Prueba de Mann-Whitney-Wilcoxon
• prueba de signos

Referencias

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61. Cureton, Edward E. (1967). "La aproximación normal a la distribución muestral de rangos con signo cuando hay diferencias cero". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 62 (319): 1068–1069. doi :10.1080/01621459.1967.10500917.
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68. Kerby, Dave S. (2014), "La fórmula de diferencia simple: un enfoque para enseñar la correlación no paramétrica", Psicología Integral , 3 : 11.IT.3.1, doi : 10.2466/11.IT.3.1
69. Dalgaard, Peter (2008). Introducción a la estadística con R. Springer Science & Business Media. págs. 99-100. ISBN 978-0-387-79053-4.
70. "Prueba de rango con signo de Wilcox: instrucción SAS". www.stat.purdue.edu . Consultado el 24 de agosto de 2023 .

enlaces externos

• Prueba de rangos con signo de Wilcoxon en R
• Ejemplo de uso de la prueba de rangos con signo de Wilcoxon
• Una versión en línea de la prueba.
• Una tabla de valores críticos para la prueba de rangos con signo de Wilcoxon
• Breve guía del psicólogo experimental Karl L. Weunsch - Estimadores no paramétricos del tamaño del efecto (Copyright 2015 de Karl L. Weunsch)
• Kerby, DS (2014). La fórmula de la diferencia simple: un enfoque para enseñar la correlación no paramétrica. Psicología Integral , tomo 3, artículo 1. doi:10.2466/11.IT.3.1. enlace al artículo