Wald-Wolfowitz realiza la prueba

La prueba de ejecución de Wald-Wolfowitz (o simplemente prueba de ejecución ), que lleva el nombre de los estadísticos Abraham Wald y Jacob Wolfowitz, es una prueba estadística no paramétrica que verifica una hipótesis de aleatoriedad para una secuencia de datos de dos valores . Más precisamente, puede usarse para probar la hipótesis de que los elementos de la secuencia son mutuamente independientes .

Definición

Una ejecución de una secuencia es un segmento máximo no vacío de la secuencia que consta de elementos iguales adyacentes. Por ejemplo, la secuencia de 22 elementos

+ + + + − − − + + + − − + + + + + + − − − −

consta de 6 ejecuciones, con longitudes 4, 3, 3, 2, 6 y 4. La prueba de ejecución se basa en la hipótesis nula de que cada elemento de la secuencia se extrae independientemente de la misma distribución.

Bajo la hipótesis nula, el número de ejecuciones en una secuencia de N elementos ^{[nota 1]} es una variable aleatoria cuya distribución condicional dada la observación de N ₊ valores positivos ^{[nota 2]} y N ₋ valores negativos ( N = N ₊ + N ₋ ) es aproximadamente normal, con: ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean: }}&\mu ={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}}{N}}+1,\\[6pt]{\text{variance: }}&\sigma ^{2}={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}\ (2\ N_{+}\ N_{-}-N)}{N^{2}\ (N-1)}}={\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}}.\end{aligned}}}$

De manera equivalente, el número de ejecuciones es . ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}(N_{+}+N_{-}+1-\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1})}$

Estos parámetros no asumen que los elementos positivos y negativos tengan iguales probabilidades de ocurrir, sino que solo asumen que los elementos son independientes y están distribuidos de manera idéntica . Si el número de ejecuciones es significativamente mayor o menor de lo esperado, se puede rechazar la hipótesis de independencia estadística de los elementos.

Pruebas

Momentos

El número de carreras es . Por independencia, la expectativa es ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}(N_{+}+N_{-}+1-\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1})}$

$${\displaystyle E[R]={\frac {1}{2}}(N+1-(N-1)E[x_{1}x_{2}])}$$

$${\displaystyle x_{1}x_{2}={\begin{cases}+1\quad &{\text{ with probability }}{\frac {N_{+}(N_{+}-1)+N_{-}(N_{-}-1)}{N(N-1)}}\\-1\quad &{\text{ with probability }}{\frac {2N_{+}N_{-}}{N(N-1)}}\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle E[x_{1}x_{2}]={\frac {(N_{+}-N_{-})^{2}-N}{N(N-1)}}}$ ${\displaystyle E[R]={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}}{N}}+1}$

De manera similar, la varianza del número de ejecuciones es

$${\displaystyle Var[R]={\frac {1}{4}}Var[\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1}]={\frac {1}{4}}((N-1)E[x_{1}x_{2}x_{1}x_{2}]+2(N-2)E[x_{1}x_{2}x_{2}x_{3}]+(N-2)(N-3)E[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]-(N-1)^{2}E[x_{1}x_{2}]^{2})}$$

De manera similar podemos calcular todos los momentos de , pero el álgebra se vuelve cada vez más feo. ${\displaystyle R}$

Normalidad asintótica

Teorema. Si tomamos muestras de secuencias cada vez más largas, con algo fijo , entonces converge en distribución a la distribución normal con media 0 y varianza 1. ${\displaystyle \lim N_{+}/N=p}$ ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle {\frac {R-\mu }{\sigma }}\sim {\sqrt {N}}(R/\mu -1)}$

Boceto de prueba. Basta demostrar la normalidad asintótica de la secuencia , que puede demostrarse mediante un teorema del límite central de martingala . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1}}$

Aplicaciones

Las pruebas de ejecución se pueden utilizar para probar:

1. la aleatoriedad de una distribución, tomando los datos en el orden dado y marcando con + los datos mayores que la mediana y con – los datos menores que la mediana (se omiten los números que igualan la mediana).
2. si una función se ajusta bien a un conjunto de datos , marcando los datos que exceden el valor de la función con + y los demás datos con −. Para este uso, el test de carreras, que tiene en cuenta los signos pero no las distancias, es complementario del test de chi cuadrado , que tiene en cuenta las distancias pero no los signos.

Pruebas relacionadas

Se ha demostrado que la prueba de Kolmogorov-Smirnov es más potente que la prueba de Wald-Wolfowitz para detectar diferencias entre distribuciones que difieren únicamente en su ubicación. Sin embargo, ocurre lo contrario si las distribuciones difieren en varianza y tienen, como máximo, sólo una pequeña diferencia en ubicación. ^{[ cita necesaria ]}

La prueba de rachas de Wald-Wolfowitz se ha ampliado para su uso con varias muestras . ^{[3] [4] [5] [6]}

Notas

1. N es el número de elementos, no el número de ejecuciones.
2. N ₊ es el número de elementos con valores positivos, no el número de ejecuciones positivas

Referencias

1. "Ejecuta prueba para detectar no aleatoriedad".
2. Muestra 33092: Prueba de aleatoriedad de Wald-Wolfowitz (o ejecuciones)
3. Magel, RC; Wibowo, SH (1997). "Comparación de los poderes de las pruebas de Wald-Wolfowitz y Kolmogorov-Smirnov". Diario Biométrico . 39 (6): 665–675. doi :10.1002/bimj.4710390605.
4. Barton, DE; David, FN (1957). "Múltiples ejecuciones". Biometrika . 44 (1–2): 168–178. doi :10.1093/biomet/44.1-2.168.
5. Sprent P, Smeeton NC (2007) Métodos estadísticos no paramétricos aplicados, págs. Boca Ratón: Chapman & Hall/ CRC.
6. Alhakim, A; Hooper, W (2008). "Una prueba no paramétrica para varias muestras independientes". Revista de estadística no paramétrica . 20 (3): 253–261. CiteSeerX 10.1.1.568.6110 . doi :10.1080/10485250801976741. 

enlaces externos

• Análisis NCSS de ejecuciones