Wald-Wolfowitz realiza pruebas

La prueba de rachas de Wald-Wolfowitz (o simplemente prueba de rachas ), llamada así por los estadísticos Abraham Wald y Jacob Wolfowitz, es una prueba estadística no paramétrica que comprueba una hipótesis de aleatoriedad para una secuencia de datos de dos valores . Más precisamente, se puede utilizar para probar la hipótesis de que los elementos de la secuencia son mutuamente independientes .

Definición

Una serie de una secuencia es un segmento no vacío máximo de la secuencia que consta de elementos iguales adyacentes. Por ejemplo, la secuencia de 22 elementos de longitud

+ + + + − − − + + + − − + + + + + + − − − −

consta de 6 ejecuciones, con longitudes 4, 3, 3, 2, 6 y 4. La prueba de ejecución se basa en la hipótesis nula de que cada elemento de la secuencia se extrae independientemente de la misma distribución.

Bajo la hipótesis nula, el número de ejecuciones en una secuencia de N elementos ^{[nota 1]} es una variable aleatoria cuya distribución condicional dada la observación de N ₊ valores positivos ^{[nota 2]} y N ₋ valores negativos ( N = N ₊ + N ₋ ) es aproximadamente normal, con: ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean: }}&\mu ={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}}{N}}+1,\\[6pt]{\text{variance: }}&\sigma ^{2}={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}\ (2\ N_{+}\ N_{-}-N)}{N^{2}\ (N-1)}}={\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}}.\end{aligned}}}$

De manera equivalente, el número de ejecuciones es . ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}(N_{+}+N_{-}+1-\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1})}$

Estos parámetros no suponen que los elementos positivos y negativos tengan la misma probabilidad de ocurrencia, sino que sólo suponen que los elementos son independientes y están distribuidos de forma idéntica . Si el número de ejecuciones es significativamente mayor o menor que lo esperado, la hipótesis de independencia estadística de los elementos puede ser rechazada.

Pruebas

Momentos

El número de ejecuciones es . Por independencia, la expectativa es Escribiendo todas las posibilidades, encontramos Por lo tanto, . Ahora simplifique la expresión para obtener . ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}(N_{+}+N_{-}+1-\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1})}$ $${\displaystyle E[R]={\frac {1}{2}}(N+1-(N-1)E[x_{1}x_{2}])}$$ $${\displaystyle x_{1}x_{2}={\begin{cases}+1\quad &{\text{ with probability }}{\frac {N_{+}(N_{+}-1)+N_{-}(N_{-}-1)}{N(N-1)}}\\-1\quad &{\text{ with probability }}{\frac {2N_{+}N_{-}}{N(N-1)}}\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle E[x_{1}x_{2}]={\frac {(N_{+}-N_{-})^{2}-N}{N(N-1)}}}$ ${\displaystyle E[R]={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}}{N}}+1}$

De manera similar, la varianza del número de ejecuciones es y simplificando, obtenemos la varianza. $${\displaystyle Var[R]={\frac {1}{4}}Var[\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1}]={\frac {1}{4}}((N-1)E[x_{1}x_{2}x_{1}x_{2}]+2(N-2)E[x_{1}x_{2}x_{2}x_{3}]+(N-2)(N-3)E[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]-(N-1)^{2}E[x_{1}x_{2}]^{2})}$$

De manera similar podemos calcular todos los momentos de , pero el álgebra se vuelve cada vez más fea. ${\displaystyle R}$

Normalidad asintótica

Teorema. Si tomamos muestras de secuencias cada vez más largas, con un valor fijo , entonces converge en distribución a la distribución normal con media 0 y varianza 1. ${\displaystyle \lim N_{+}/N=p}$ ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle {\frac {R-\mu }{\sigma }}\sim {\sqrt {N}}(R/\mu -1)}$

Esquema de demostración. Basta con demostrar la normalidad asintótica de la sucesión , lo que se puede demostrar mediante un teorema de límite central de martingala . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1}}$

Aplicaciones

Las pruebas de ejecución se pueden utilizar para probar:

1. la aleatoriedad de una distribución, tomando los datos en el orden dado y marcando con + los datos mayores que la mediana , y con – los datos menores que la mediana (se omiten los números iguales a la mediana).
2. Si una función se ajusta bien a un conjunto de datos , marcando los datos que exceden el valor de la función con + y los demás datos con −. Para este uso, la prueba de rachas, que tiene en cuenta los signos pero no las distancias, es complementaria a la prueba de chi cuadrado , que tiene en cuenta las distancias pero no los signos.

Pruebas relacionadas

Se ha demostrado que la prueba de Kolmogorov-Smirnov es más eficaz que la prueba de Wald-Wolfowitz para detectar diferencias entre distribuciones que difieren únicamente en su ubicación. Sin embargo, lo contrario es cierto si las distribuciones difieren en varianza y tienen, como máximo, una pequeña diferencia en la ubicación. ^{[ cita requerida ]}

La prueba de corridas de Wald-Wolfowitz se ha ampliado para su uso con varias muestras . ^{[3] [4] [5] [6]}

Notas

1. N es el número de elementos, no el número de ejecuciones.
2. N ₊ es el número de elementos con valores positivos, no el número de ejecuciones positivas

Referencias

1. "Prueba de ejecución para detectar la no aleatoriedad".
2. Muestra 33092: Prueba de aleatoriedad de Wald-Wolfowitz (o de ejecuciones)
3. Magel, RC; Wibowo, SH (1997). "Comparación de los poderes de las pruebas de Wald-Wolfowitz y Kolmogorov-Smirnov". Revista biométrica . 39 (6): 665–675. doi :10.1002/bimj.4710390605.
4. Barton, DE; David, FN (1957). "Múltiples ejecuciones". Biometrika . 44 (1–2): 168–178. doi :10.1093/biomet/44.1-2.168.
5. Sprent P, Smeeton NC (2007) Métodos estadísticos no paramétricos aplicados, págs. 217-219. Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC.
6. Alhakim, A; Hooper, W (2008). "Una prueba no paramétrica para varias muestras independientes". Revista de estadística no paramétrica . 20 (3): 253–261. CiteSeerX 10.1.1.568.6110 . doi :10.1080/10485250801976741. 

Enlaces externos

• Análisis de ejecuciones del NCSS