Prueba de Durbin-Wu-Hausman

Prueba de hipótesis estadística en econometría

La prueba de Durbin-Wu-Hausman (también llamada prueba de especificación de Hausman ) es una prueba de hipótesis estadística en econometría que lleva el nombre de James Durbin , De-Min Wu y Jerry A. Hausman . ^{[1] [2] [3] [4]} La prueba evalúa la consistencia de un estimador en comparación con un estimador alternativo, menos eficiente , que ya se sabe que es consistente. ^[5] Ayuda a evaluar si un modelo estadístico corresponde a los datos.

Detalles

Considere el modelo lineal y  =  Xb  +  e , donde y es la variable dependiente y X es el vector de regresores , b es un vector de coeficientes y e es el término de error . Tenemos dos estimadores para b : b ₀ y b ₁ . Bajo la hipótesis nula , ambos estimadores son consistentes , pero b ₁ es eficiente (tiene la varianza asintótica más pequeña), al menos en la clase de estimadores que contienen b ₀ . Bajo la hipótesis alternativa , b ₀ es consistente, mientras que b ₁ no lo es.

Entonces la estadística de Wu-Hausman es: ^[6]

${\displaystyle H=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

donde ^† denota la pseudoinversa de Moore–Penrose . Bajo la hipótesis nula, este estadístico tiene asintóticamente la distribución de chi-cuadrado con el número de grados de libertad igual al rango de la matriz Var( b ₀ ) − Var( b ₁ ) .

Si rechazamos la hipótesis nula, significa que b ₁ es inconsistente. Esta prueba se puede utilizar para comprobar la endogeneidad de una variable (mediante la comparación de las estimaciones de la variable instrumental (VI) con las estimaciones de mínimos cuadrados ordinarios (MCO)). También se puede utilizar para comprobar la validez de instrumentos adicionales mediante la comparación de las estimaciones de la VI utilizando un conjunto completo de instrumentos Z con las estimaciones de la VI que utilizan un subconjunto adecuado de Z . Tenga en cuenta que para que la prueba funcione en el último caso, debemos estar seguros de la validez del subconjunto de Z y ese subconjunto debe tener suficientes instrumentos para identificar los parámetros de la ecuación.

Hausman también demostró que la covarianza entre un estimador eficiente y la diferencia de un estimador eficiente e ineficiente es cero.

Derivación

Suponiendo normalidad conjunta de los estimadores. ^{[3] [6]}

${\displaystyle {\sqrt {N}}{\begin{bmatrix}b_{1}-b\\b_{0}-b\end{bmatrix}}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}\right)}$

Considere la función: ${\displaystyle q=b_{0}-b_{1}\Rightarrow \operatorname {plim} q=0}$

Por el método delta

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {N}}(q-0){\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left(0,{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&\operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{1})+\operatorname {Var} (b_{0})-2\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\end{aligned}}}$

Utilizando el resultado comúnmente utilizado, demostrado por Hausman, de que la covarianza de un estimador eficiente con su diferencia con un estimador ineficiente es cero, se obtiene

${\displaystyle \operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1})}$

La prueba de chi-cuadrado se basa en el criterio de Wald

${\displaystyle H=\chi ^{2}[K-1]=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

donde ^† denota la pseudoinversa de Moore-Penrose y K denota la dimensión del vector b .

Datos del panel

La prueba de Hausman se puede utilizar para diferenciar entre el modelo de efectos fijos y el modelo de efectos aleatorios en el análisis de paneles . En este caso, se prefiere el modelo de efectos aleatorios (ER) bajo la hipótesis nula debido a su mayor eficiencia, mientras que bajo la alternativa, el modelo de efectos fijos (EF) es al menos tan consistente y, por lo tanto, el modelo preferido.

Véase también

• Validación del modelo de regresión
• Especificación del modelo estadístico

Referencias

1. Durbin, James (1954). "Errores en variables". Revista del Instituto Internacional de Estadística . 22 (1/3): 23–32. doi :10.2307/1401917. JSTOR  1401917.
2. Wu, De-Min (julio de 1973). "Pruebas alternativas de independencia entre regresores estocásticos y perturbaciones". Econometrica . 41 (4): 733–750. doi :10.2307/1914093. ISSN  0012-9682. JSTOR  1914093.
3. Hausman, JA (noviembre de 1978). "Pruebas de especificación en econometría". Econometrica . 46 (6): 1251–1271. doi :10.2307/1913827. hdl : 1721.1/64309 . ISSN  0012-9682. JSTOR  1913827.
4. Nakamura, Alice ; Nakamura, Masao (1981). "Sobre las relaciones entre varias pruebas de error de especificación presentadas por Durbin, Wu y Hausman". Econometrica . 49 (6): 1583–1588. doi :10.2307/1911420. JSTOR  1911420.
5. Greene, William (2012). Análisis econométrico (7.ª ed.). Pearson. Págs. 234-237. ISBN. 978-0-273-75356-8.
6. Greene, William H. (2012). Análisis econométrico (7.ª ed.). Pearson. pp. 379–380, 420. ISBN 978-0-273-75356-8.

Lectura adicional

• Baltagi, Badi H. (1999). Econometría (segunda edición). Berlín: Springer. Págs. 290-294. ISBN. 3-540-63617-X.
• Bierens, Herman J. (1994). Temas de econometría avanzada . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 89–109. ISBN 0-521-41900-X.
• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e inferencia en econometría. Nueva York: Oxford University Press. pp. 237–242, 389–395. ISBN 0-19-506011-3.
• Florens, Jean-Pierre; Marimoutou, Velayoudom; Peguin-Feissolle, Anne (2007). Modelado econométrico e inferencia. Cambridge University Press. págs. 78–82. ISBN 978-0-521-70006-1.
• Ruud, Paul A. (2000). Introducción a la teoría econométrica clásica . Nueva York: Oxford University Press. pp. 578–585. ISBN 0-19-511164-8.