Medida del producto

Construcción en la teoría de la medida

En matemáticas , dados dos espacios medibles y medidas en ellos, se puede obtener un espacio medible producto y una medida producto en ese espacio. Conceptualmente, esto es similar a definir el producto cartesiano de conjuntos y la topología producto de dos espacios topológicos, excepto que puede haber muchas opciones naturales para la medida producto.

Sean y dos espacios medibles , es decir, y son álgebras sigma en y respectivamente, y sean y medidas en estos espacios. Denotemos por el álgebra sigma en el producto cartesiano generado por subconjuntos de la forma , donde y Esta álgebra sigma se llama σ-álgebra de producto tensorial en el espacio producto. ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}.}$

Una medida de producto (también denominada por muchos autores) se define como una medida en el espacio medible que satisface la propiedad ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})}$

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

a pesar de

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}}$.

(Al multiplicar medidas, algunas de las cuales son infinitas, definimos el producto como cero si algún factor es cero.)

De hecho, cuando los espacios son -finitos, la medida del producto está definida de forma única, y para cada conjunto medible E , ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),}$

donde y , que son ambos conjuntos mensurables. ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$ ${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$

La existencia de esta medida está garantizada por el teorema de Hahn-Kolmogorov . La unicidad de la medida del producto está garantizada solo en el caso de que tanto y sean σ-finitos . ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$

Las medidas de Borel en el espacio euclidiano R ⁿ se pueden obtener como el producto de n copias de medidas de Borel en la línea real R .

Incluso si los dos factores del espacio del producto son espacios de medida completos , el espacio del producto puede no serlo. En consecuencia, se necesita el procedimiento de compleción para extender la medida de Borel a la medida de Lebesgue , o para extender el producto de dos medidas de Lebesgue para obtener la medida de Lebesgue en el espacio del producto.

La construcción opuesta a la formación del producto de dos medidas es la desintegración , que en cierto sentido "divide" una medida dada en una familia de medidas que pueden integrarse para dar la medida original.

Ejemplos

• Dados dos espacios de medida, siempre hay una única medida de producto máxima μ _max en su producto, con la propiedad de que si μ _max ( A ) es finito para algún conjunto medible A , entonces μ _max ( A ) = μ( A ) para cualquier medida de producto μ. En particular, su valor en cualquier conjunto medible es al menos el de cualquier otra medida de producto. Esta es la medida producida por el teorema de extensión de Carathéodory .
• A veces también existe una medida de producto mínima única μ _min , dada por μ _min ( S ) = sup _{A ⊂ S , μ max ( A ) finito} μ _max ( A ), donde se supone que A y S son medibles.
• He aquí un ejemplo en el que un producto tiene más de una medida de producto. Tomemos el producto X × Y , donde X es el intervalo unitario con medida de Lebesgue e Y es el intervalo unitario con medida de conteo y todos los conjuntos son medibles. Entonces, para la medida de producto mínima la medida de un conjunto es la suma de las medidas de sus secciones horizontales, mientras que para la medida de producto máxima un conjunto tiene medida infinita a menos que esté contenido en la unión de un número contable de conjuntos de la forma A × B , donde A tiene medida de Lebesgue 0 o B es un único punto. (En este caso la medida puede ser finita o infinita). En particular, la diagonal tiene medida 0 para la medida de producto mínima y medida infinita para la medida de producto máxima.

Véase también

• Teorema de Fubini

Referencias

• Loève, Michel (1977). "8.2. Medidas de producto e integrales iteradas". Probability Theory vol. I (4.ª ed.). Springer. págs. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• Halmos, Paul (1974). "35. Medidas de productos". Teoría de la medida . Springer. pp. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.

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